¿Por qué sólo hablar de los derivados en un intervalo abierto?

Question

Por ejemplo, en mi clase de cálculo, todos los teoremas son en la forma siguiente:

Por ejemplo, el teorema de Rolle: Si $f(x)$ es continua en a $[a,b]$, diferenciable en a $(a,b)$ ... (etc)

Mi pregunta es, cuando se presenta con un intervalo cerrado, ¿por qué debemos hablar de sus derivados en un intervalo abierto? ¿Por qué no teorema de Rolle decir `diferenciable en a $[a,b]$' en lugar de $(a,b)$

Answer 1

Como @PeterFrank dice en los comentarios, uno puede hablar sobre lo que se denomina una cara de la diferenciabilidad en el punto final, por ejemplo,

$$ f'(a)=\lim_{h \downarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. $$

Pero el punto es que si asumimos que $f$ tiene que ser diferenciable en a $(a,b)$, el teorema es mejor/más fuerte.

Por ejemplo, se puede aplicar de Rolle a$x\mapsto \sqrt{x}$$[0,1]$, aunque este mapa es no unilateralmente diferenciable en a $0$.

Si usted asume que $f$ tiene que ser diferenciable en a $[0,1]$, usted podría no aplicar Rolle en este caso.