Soluciones para $a^2+b^2+c^2=d^2$

Question

Tengo que encontrar un conjunto infinito para $a,b,c,d$ tal que $a^2+b^2+c^2=d^2$ y $a,b,c,d\in\mathbb N$

He encontrado un posible conjunto que es $x,2x,2x,3x$ y $x\in\mathbb N$

Pero quiero otros conjuntos infinitos y cómo llegar a ellos porque he encontrado mi solución a golpe de prueba .

Answer 1

Hay una parametrización de todas las souciones primitivas, $\gcd(a,b,c,d)=1.$ Tome cuatro enteros cualesquiera $m,n,p,q$ con $\gcd(m,n,p,q)=1$ y $m+n+p+q$ impar. Esas son las únicas reglas. Entonces $$ a = m^2 + n^2 - p^2 - q^2, $$ $$ b = 2 (mq+np), $$ $$ c = 2(nq -mp), $$ $$ d = m^2 + n^2 + p^2 + q^2 $$ satisfacer $$ a^2 + b^2 + c^2 = d^2. $$ Esto es simplemente una multiplicación de cuaterniones. Parece probable que la fórmula fuera conocida por Euler, que escribió la fórmula de multiplicación para las sumas de cuatro cuadrados, lo que equivale a la multiplicación de cuaterniones. Sin embargo, la mayoría de la gente menciona este punto como debido al teórico de los números V. A. Lebesgue a mediados de 1800. Aparentemente la primera prueba correcta de que esto da todas las soluciones primitivas fue Dickson en 1920, así que no estoy seguro de lo que hizo Lebesgue.

gp-pari

? a = m^2 + n^2 - p^2 - q^2
%6 = m^2 + (n^2 + (-p^2 - q^2))
? b = 2 *( m * q + n * p)
%7 = 2*q*m + 2*p*n
? c = 2 * ( n * q - m * p)
%8 = -2*p*m + 2*q*n
? d = m^2 + n^2 + p^2 + q^2
%9 = m^2 + (n^2 + (p^2 + q^2))
? a^2 + b^2 + c^2 - d^2
%10 = 0
?

Answer 2

Voy a dar un ejemplo obvio que encontré, y es

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Si $$p^2+q^2=2rs\tag1$$ Entonces $$(p+q)^2+(p-q)^2+(r-s)^2=(r+s)^2\tag2$$

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Por ejemplo, si $(p,q,r,s)=(4,2,5,2)$ entonces $$6^2+2^2+3^2=7^2\tag3$$

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Curiosamente, Euler hizo el mismo trabajo para estas sumas de cuadrados y dio una fórmula explícita. $$(m^2+n^2-p^2-q^2)^2+4(mq+np)^2+4(nq-mp)^2=(m^2+n^2+p^2+q^2)^2\tag4$$ Por lo que respecta a la arbitrariedad $m,n,p,q\in\mathbb{Z}$ .

Answer 3

Como has notado, dada una solución puedes multiplicarla por cualquier natural mayor que $1$ para obtener otra solución, así que podemos concentrarnos en las soluciones que no tienen un divisor común. Puedes seguir encontrando soluciones a mano. Un enfoque más sistemático es escribir $a^2+b^2=d^2-c^2=(d+c)(d-c)$ Los dos términos de la derecha son ambos Impares o ambos pares. Puede elegir simplemente $a,b$ con un impar y un par y $a \gt b$ , entonces el factor $a^2+b^2$ . Así que $a=4,b=1$ da $d+c=17, d-c=1$ y se pueden resolver las ecuaciones para obtener $d=9,c=8$ y una nueva solución es $4,1,8,9$ . Siempre se puede utilizar el factor con $1$ dando $a,b,\frac 12(a^2+b^2-1),\frac12(a^2+b^2+1)$ como solución fundamental siempre que $a,b$ son de paridad opuesta. Si $a^2+b^2$ no es primo o el cuadrado de un primo habrá otras soluciones. Así que para $a=8, b=1$ tenemos $a^2+b^2=65=5 \cdot 13$ y encontramos $8,1,4,9$ como solución.Así que $a=4,b=1$ da $d+c=17, d-c=1$ y se pueden resolver las ecuaciones para obtener $d=9,c=8$ . Desgraciadamente aquí da una permutación de la solución que ya tenemos. Si elegimos $a=9,b=2$ obtenemos $a^2+b^2=85=5 \cdot 17$ y encontrar la solución $9,2,6,11$ así como $9,2,42,43$

Answer 4

Es bien sabido que la identidad $(2n)^2+(n^2-1)^2=(n^2+1)^2$ produce una clase de Triples Pitagóricos. Podemos aplicar el mismo algoritmo dos veces sustituyendo $n\to n^2+1$ , como $$\color{Green}{(4n)^2+(2(n^2-1))^2+((n^2+1)^2-1)^2=((n^2+1)^2+1)^2}\,\,\,\,\forall n\in\Bbb{N}.$$ De hecho, esta solución tiene una propiedad interesante que no se da en otras :)
También hay otra identidad similar que parece bastante sencilla, $$\color{red}{n^2+(n+1)^2+(n^2+n)^2=(n^2+n+1)^2}\,\,\,\,\forall n\in\Bbb{N}.$$

Answer 5

Una solución más limpia. (no es obvio de dónde saqué la fórmula)

Tenga en cuenta que: $(b^2-a^2)^2+(2ab)^2+(2cd)^2-(c^2+d^2)^2=(a^2+b^2+c^2-d^2)(a^2+b^2-c^2+d^2)$ .

Así que si tienes una solución $(a,b,c,d)$ a $a^2+b^2+c^2-d^2=0$ entonces otra solución es:

$$\bigg(b^2-a^2,2ab,2cd,c^2+d^2\bigg)$$

Aplicando esto a su solución $(1,2,2,3)$ da $(3,4,12,13)$ .

Obsérvese que el orden de los términos puede modificarse para otras aplicaciones. El único requisito es que $b>a$ .

$(3,4,12,13)$ se convierte en $(24,12,313)$ .

$(3,12,4,13)$ se convierte en $(35,72,104,185)$ .

$(4,12,3,13)$ se convierte en $(128,96,78,178)$ .

Solución fea. (más obvio de donde viene la fórmula)

El teorema de Pitágoras es un problema relacionado que sólo implica tres términos: $a^2+b^2=c^2$ . Tiene una solución fundamental de $x^2-y^2, 2xy, x^2+y^2$ . Podemos construir sobre esto.

Si abordamos su problema $a^2+b^2+c^2=d^2$ entonces podemos empezar con $a^2+b^2=(x^2-y^2)^2, c=2xy, d=x^2+y^2$ . Obsérvese que la resolución de $a^2+b^2=(x^2-y^2)^2$ es otro caso de Pitágoras: $a=k^2-l^2, b=2kl, x^2-y^2=k^2+l^2$ . Tenga en cuenta que $x^2-y^2=k^2+l^2$ es la misma que tu ecuación original para la que tienes una solución, así que podemos construir otra a partir de ahí: $x=3,k=2,l=1,y=2$ (Nota: necesitamos $k>l$ ).

Así que con $k=2,l=1,y=2,x=3$ entonces obtenemos $a=3,b=4,c=12,d=13$ dando $3^2+4^2+12^2=13^2$ .

Así que en general si tienes una solución $(a,b,c,d)$ (con $a<b$ ) puedes formar una nueva solución: $(b^2-a^2,2ab,2cd,c^2+d^2)$ .