¿Por qué el análisis dimensional parecen fallar en la determinación de la escala de la transformada de Fourier?

Question

En su libro la Calle de Lucha contra las Matemáticas, en la pag. 7, S. Mahajan utiliza la técnica de análisis dimensional para obtener muy rápidamente el siguiente resultado: $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\, dx = \frac{\text{constant}}{\sqrt{a}}.^{[1]}$$ Aquí una "constante" es algo que no es función del parámetro $a$. El truco es observar que si $x$ tiene la dimensión de $\verb+length+$ $a$ debe tener la dimensión de $\verb+length+^{-2}$.

Ahora he tratado de usar la misma técnica para derivar la escala de la fórmula de la transformada de Fourier: $$\mathcal{F}[f(\lambda x)](\xi)=\frac{1}{\lambda}\widehat{f}\left(\frac{\xi}{\lambda}\right), $$ pero me da un resultado erróneo y no puedo entender por qué. Mi razonamiento es el siguiente:

1. Suponga que $x$ tiene dimensiones de $\verb+length+$ y $f(x)$ es adimensional.
2. A partir de la fórmula $$\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i x\xi}\, dx, $$ we see that $\xi$ must have the dimensions of $\verb+longitud+^{-1}$ and $\widehat{f}(\xi)$ must have the dimensions of $\verb+longitud+$.
3. Aplicar la escala de la $x\to \lambda x$. A continuación se obtienen desde el punto 1 que $$f(x)\to f(\lambda x)$$ y obtenemos desde el punto 2 \begin{equation}\begin{array}{ccc} \xi\to \frac{\xi}{\lambda} &\text{and}& \widehat{f}(\xi)\to \lambda\widehat{f}\left(\frac{\xi}{\lambda}\right)\end{array}.\end{equation}
4. A la conclusión de que $$\tag{!!}\mathcal{F}[f(\lambda x)](\xi)=\lambda \widehat{f}\left(\frac{\xi}{\lambda}\right), $$, que es malo.

Donde estoy equivocado?

Gracias por la lectura.

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[1] El valor exacto de la constante es $\sqrt{\pi}$. Por supuesto, esto no puede ser determinada por análisis dimensional solo.

Answer 1

La manera fácil para que se derivan de la transformación de la propiedad es mediante la sustitución de $y=\lambda x$: $$\mathcal{F}[f(\lambda x)](\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(\lambda x)e^{-i x\xi}dx = \int_{-\infty}^\infty f(y)e^{-ix\xi/\lambda }\frac{dx}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}\hat{f}\left(\frac{\xi}{\lambda}\right).$$

Sin embargo, puesto que usted me preguntó sobre análisis dimensional, te voy a dar un argumento basado en él. Función de corrección $f$ y respecto a la transformada de Fourier $$\mathcal{F}[f(\lambda x)](\xi)$$ como una función de la $\lambda$$\xi$. Supongamos $x$ tiene dimensión de $\mathrm{length}$. Desde $\lambda$ $\xi$ sólo aparecen en combinaciones de $\lambda x$ $\xi x$ respectivamente, ambos deben tener dimensiones $\mathrm{length}^{-1}$. Desde la dimensión total de $\mathcal{F}[f(\lambda x)](\xi)$$\mathrm{length}$, debe ser igual a $$ \frac{1}{\lambda}g\left(\frac{\xi}{\lambda}\right),$$ para algunos (hasta ahora desconocido) la función $g$. Establecimiento $\lambda=1$ revela que $g$ es la transformada de Fourier de $f$.

Para ilustrar el punto más claramente, tenga en cuenta que, basado en la dimensionalidad sólo, se podría tener igual de bien dijo que $\mathcal{F}[f(\lambda x)](\xi)$ debe ser $$ \frac{1}{\xi}h_1\left(\frac{\lambda}{\xi}\right),\quad\mathrm{or}\quad \frac{\xi}{\lambda^2}h_2\left(\frac{\xi}{\lambda}\right),\quad\ldots$$ para algunos $h_{1,2}$ no se fija por el análisis dimensional. Establecimiento $\lambda=1$ sería entonces mostrar que $$h_1(\xi)=\frac{1}{\xi}\hat{f}\left(\frac{1}{\xi}\right),\quad h_2(\xi)=\frac{1}{\xi}\hat{f}\left(\xi\right).$$

Todo lo anterior probablemente se supone razonable de las propiedades de $f$.