Encontrar los valores de a y b

Question

Estoy obligado a encontrar los números a y b para que: $$\frac{2x+5}{x^2+x-6}=\frac{a}{x+3}+\frac{b}{x-2}$$

$$\frac{ax-2a\:+\:bx+3b}{x^2+x-6}$$

$$\therefore ax-2a\:+\:bx+3b\:=\:2x+5 $$

A este paso yo entiendo que mi proceso y el resto yo creo que sería como una de ecuaciones simultáneas, o podría incluso utilizar un método de prueba y error para encontrar los números, pero sé que hay una manera mucho más sencilla de solucionar esto, lo que paso es el siguiente? o he cometido un error?

Answer 1

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

Tenemos $$a(x-2)+b(x+3)=2x+5$$

Set $x-2=0$ $x+3=0$ uno por uno

Answer 2

Aquí está el método más básico. Grupo de la $x$ coeficientes de $$ (a+b)x + (3b-2a) = 2x + 5 $$

esto debe ser cierto para $\forall x \in \mathbb R$. Por lo tanto

$$ a + b = 2 $$ $$ 3b - 2a = 5 $$

Resolver este sistema por $a,b$

Answer 3

Sustituto $x=0$ conseguir $\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{-5}{6}$ $x=-1$ conseguir $\frac{a}{2}+b=\frac{-1}{2}$ y resolverlos para obtener $a=-7, b=3$