Agradecería si alguien pudiera demostrar cómo mostrar $\sqrt{2}, e, \pi$ son números reales en la axiomática para la definición de $\mathbb{R}$ (sin referencia a un modelo).
La página de Wikipedia para los Números Reales nos da un resumen de los diferentes enfoques para la definición de los reales. El artículo pone de relieve dos separados ideas que se aplican a la definición de ellos. Por un lado, hay una definición axiomática que se dijo algo así como "Los Números Reales son los únicos, hasta el Isomorfismo, Dedekind-completa ordenó campo". Por otro lado, los modelos específicos de los reales puede ser utilizado para definir un conjunto de objetos que se muestra a continuación, para satisfacer estos axiomas. Estoy familiarizado con la construcción de Cauchy y es sencillo para mí cómo mostrar que, por ejemplo, $\sqrt{2}, e, \pi$ son números reales.
Lo que no entiendo es cómo se puede hacer eso sin un modelo, es decir, sólo mediante la definición axiomática. Para hacer el problema peor, no entiendo lo general "número" se define, en primer lugar, por lo que podemos decir que hay un subconjunto de todos los "números", los reales, que satisface los axiomas. Yo estaría más cómodo si fueran sólo se consideran "objetos" que satisfacen estos axiomas. Me he quedado con la impresión de que la definición axiomática sin modelo no tiene sentido. Creo que una manera de decir que es una caracterización de los reales, pero no puede servir como la definición.
Nota: me lo tomo como dado que los números racionales han sido previamente bien definido.
