El teorema de Sperner sobre anti-cadenas - ¿de dónde proviene?

Question

Sperner demostró en 1927 (el artículo fue publicado en 1928) su teorema que establece que el tamaño máximo de una cadena anti de subconjuntos de $[n]$ es $\binom{n}{n/2}$. En la introducción de su artículo, menciona que fue Schreier (su asesor) quien le sugirió la pregunta. ¿De dónde surgió esa pregunta?

Una posibilidad es la participación de Schreier en la demostración del teorema de van der Waerden sobre secuencias aritméticas. Según van der Waerden, él demostró su teorema mientras visitaba Hamburgo (donde Schreier estaba basado), después de una discusión con Schreier y Artin. Sin embargo, la conexión es un poco tenue.

Answer 1

Eliminado mientras había una recompensa en oferta, ya que en realidad no respondía a la pregunta. Ahora se ha recuperado, ya que la información podría ser útil para otra persona.

Bernhard Beham y Karl Sigmund, Una breve historia de dos ciudades: Otto Schreier y la conexión Hamburgo-Viena, The Mathematical Intelligencer, Volumen 30, Número 3, 2008, 27-35, doi: 10.1007/BF02985376.

De la página 33:

El contenido principal de ese seminario fue un trabajo de Witold Hurewicz (1904-1956) y Karl Menger sobre la dimensión, que apareció (después de muchas correcciones sugeridas por Schreier) en 1928 en el Mathematische Annalen. Para cuando se publicó, una parte considerable ya había sido superada por los acontecimientos. De hecho, otra estrella en ascenso comenzó a brillar en el seminario Artin-Blaschke-Schreier: Emmanuel Sperner (1905-1980) propuso un lema sobre la coloración de descomposiciones simpliciales, que simplificó en gran medida la prueba del teorema de cubrimiento de Lebesgue. El lema de Sperner hizo que el enfoque de Lebesgue se convirtiera en la definición más utilizada de la dimensión topológica (un conjunto es $n$-dimensional si cada cubierta abierta se puede refinar de manera que cada punto esté en a lo sumo $n+1$ conjuntos abiertos). Schreier informó entusiastamente a Menger:

¡Querido Karl! Seguro que te sorprende que responda tan rápidamente a tu amable carta. La razón principal es la siguiente: Recientemente le había presentado a nuestro mejor estudiante, el Sr. E. Sperner, el problema de encontrar una demostración más bonita para el teorema de Lebesgue en ${\bf R}^n$. Para mi alegría, ayer me trajo una prueba absolutamente deliciosa. Dado que espero que también estés feliz al respecto, te describiré inmediatamente la prueba, que debería aparecer en nuestras actas...

Cuando Sperner presentó su tesis doctoral en 1928, el informe de Schreier no tuvo reparos: 'La siguiente demostración debe calificarse como un verdadero trabajo de arte... Finalmente, la invarianza de la dimensión es verdaderamente accesible, sigue de una manera trivial'.