Me pregunto si lo siguiente es cierto:
Cada$T\in B(H)$ normal tiene un subespacio invariante no trivial si$\dim(H)>1$?
Respuesta
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Deje $ T \in B(\mathcal{H}) $ ser un operador habitual. Deje $ \sigma(T) $ denotar el espectro de $ T $. Entonces tenemos dos casos a considerar: (i) $ \sigma(T) $ es un singleton conjunto, y (ii) $ \sigma(T) $ contiene al menos dos puntos.
Caso (i): Supongamos que $ \sigma(T) = \{ \lambda \} $ algunos $ \lambda \in \mathbb{C} $. Deje $ \text{id}_{\lambda} $ $ 1_{\lambda} $ denotan, respectivamente, la identidad de la función en $ \{ \lambda \} $ y la constante de la función en $ \{ \lambda \} $ con valor de $ 1 $. Por el Continuo Funcional de Cálculo, se pueden aplicar estas dos funciones a $ T $. Como $ \text{id}_{\lambda} = \lambda \cdot 1_{\lambda} $, obtenemos $ T = \lambda I $ donde $ I: \mathcal{H} \to \mathcal{H} $ es el operador identidad. Claramente, $ I $ no tiene subespacios triviales (esto es cierto sólo si asumimos que $ \dim(\mathcal{H}) > 1 $), por lo $ T $ no tiene subespacios triviales así.
Caso (ii): Supongamos que $ \sigma(T) $ contiene dos distintos puntos de $ \lambda_{1} $ $ \lambda_{2} $ (tenga en cuenta que esto no es posible si $ \dim(\mathcal{H}) = 1 $). Deje $ U_{1} $ $ U_{2} $ ser distinto, abierto barrios (contenida en $ \sigma(T) $) $ \lambda_{1} $ $ \lambda_{2} $ respectivamente. Si $ \mathbf{E} $ denota la resolución de la identidad correspondiente a $ T $, luego tenemos a los no-cero de proyección de los operadores de $ P_{1} := \mathbf{E}(U_{1}) $ $ P_{2} := \mathbf{E}(U_{2}) $ la satisfacción de las siguientes dos propiedades:
$ P_{1} P_{2} = \mathbf{0}_{B(\mathcal{H})} = P_{2} P_{1} $ y
$ T P_{1} = P_{1} T $ $ T P_{2} = P_{2} T $ , es decir, $ P_{1} $ $ P_{2} $ conmuta con $ T $.
De la propiedad (1) dice que el $ P_{1} $ no es la identidad del operador; de lo contrario $ P_{1} P_{2} = P_{2} \neq \mathbf{0}_{B(\mathcal{H})} $, lo cual es una contradicción. Siguiente, a la Propiedad, (2) dice $$ T[{P_{1}}[\mathcal{H}]] = {P_{1}}[T[\mathcal{H}]] \subseteq {P_{1}}[\mathcal{H}], $$ lo que muestra que $ {P_{1}}[\mathcal{H}] $ es no trivial de la subespacio invariante de $ T $.
Conclusión: Cada operador habitual $ T \in B(\mathcal{H}) $ tiene un no-trivial subespacio invariante si $ \dim(\mathcal{H}) > 1 $.
