Normal$T\in B(H)$ tiene un subespacio invariante no trivial

Question

Me pregunto si lo siguiente es cierto:

Cada$T\in B(H)$ normal tiene un subespacio invariante no trivial si$\dim(H)>1$?

Answer 1

Deje $T \in B(\mathcal{H})$ ser un operador habitual. Deje $\sigma(T)$ denotar el espectro de $T$. Entonces tenemos dos casos a considerar: (i) $\sigma(T)$ es un singleton conjunto, y (ii) $\sigma(T)$ contiene al menos dos puntos.

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Caso (i): Supongamos que $\sigma(T) = \{ \lambda \}$ algunos $\lambda \in \mathbb{C}$. Deje $\text{id}_{\lambda}$ $1_{\lambda}$ denotan, respectivamente, la identidad de la función en $\{ \lambda \}$ y la constante de la función en $\{ \lambda \}$ con valor de $1$. Por el Continuo Funcional de Cálculo, se pueden aplicar estas dos funciones a $T$. Como $\text{id}_{\lambda} = \lambda \cdot 1_{\lambda}$, obtenemos $T = \lambda I$ donde $I: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ es el operador identidad. Claramente, $I$ no tiene subespacios triviales (esto es cierto sólo si asumimos que $\dim(\mathcal{H}) > 1$), por lo $T$ no tiene subespacios triviales así.

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Caso (ii): Supongamos que $\sigma(T)$ contiene dos distintos puntos de $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ (tenga en cuenta que esto no es posible si $\dim(\mathcal{H}) = 1$). Deje $U_{1}$ $U_{2}$ ser distinto, abierto barrios (contenida en $\sigma(T)$) $\lambda_{1}$ $\lambda_{2}$ respectivamente. Si $\mathbf{E}$ denota la resolución de la identidad correspondiente a $T$, luego tenemos a los no-cero de proyección de los operadores de $P_{1} := \mathbf{E}(U_{1})$ $P_{2} := \mathbf{E}(U_{2})$ la satisfacción de las siguientes dos propiedades:

1. $P_{1} P_{2} = \mathbf{0}_{B(\mathcal{H})} = P_{2} P_{1}$ y

2. $T P_{1} = P_{1} T$ $T P_{2} = P_{2} T$ , es decir, $P_{1}$ $P_{2}$ conmuta con $T$.

De la propiedad (1) dice que el $P_{1}$ no es la identidad del operador; de lo contrario $P_{1} P_{2} = P_{2} \neq \mathbf{0}_{B(\mathcal{H})}$, lo cual es una contradicción. Siguiente, a la Propiedad, (2) dice $$T[{P_{1}}[\mathcal{H}]] = {P_{1}}[T[\mathcal{H}]] \subseteq {P_{1}}[\mathcal{H}],$$ lo que muestra que ${P_{1}}[\mathcal{H}]$ es no trivial de la subespacio invariante de $T$.

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Conclusión: Cada operador habitual $T \in B(\mathcal{H})$ tiene un no-trivial subespacio invariante si $\dim(\mathcal{H}) > 1$.