Probabilidad simple Pregunta de mi libro de texto

Question

Considere un grupo de cuatro personas. Todos escriben el nombre de otro miembro (aleatorio) del grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un par de personas que anotaron el nombre de cada uno?

La respuesta es 17/27. Creo que debería ser 19/27. ¿Cómo calcularlo?

Answer 1

La respuesta numérica es $17/27$.

Dividir el conjunto de $4$ de las personas en grupos de dos.

Una agrupación es $\{A, B\}, \{C,D\}$. Hay $2$ otras agrupaciones, $\{A, C\}, \{B,D\}$$\{A, D\}, \{B,C\}$.

La probabilidad de que $A$ $B$ escribir los nombres de los demás es $\dfrac{1}{9}$. Lo mismo se aplica a $C$$D$. Permítanos calcular la probabilidad de que ambos pasan estas cosas. Es $\dfrac{1}{81}$.

Así que la probabilidad de que $A$ $B$ escribir uno a otro nombre, o que $C$ $D$ do (o ambos), es $$\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{81}.$$

Restamos el $1/81$ para evitar la "doble contabilización" las situaciones en las $A$ $B$ aprender de otros, y $C$$D$. O de lo contrario nos puede pensar que a partir de la fórmula siguiente $$P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y).$$

El mismo cálculo se aplica a los otros dos emparejamientos. Por lo que se multiplican $\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{81}$$3$. El resultado es $2/3-1/27$,$17/27$.