¿Por qué los autores afirman que Euler no dio pruebas de su "$\sin(\pi x)= \pi x\prod\limits_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{k^2} \right )$" cuando ...

Question

Cuando comprobó la relación entre el $\pi \cot(\pi x)$ y la serie armónica en "Introducción en analysin infinitorum", que establece que $$\pi \cot(\pi x)=\sum_{k \to \infty}^{\infty} \frac{1}{x+k}=\frac{1}{x}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x+n}+\frac{1}{x-n} \right) \text{ for } x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Z}.$$ It doesn't take a genius to transform this into an infinite product just by knowing the fact that $$\int \pi \cot(\pi x) = \log\left(\sin(\pi x) \right)+C.$$

Así que mi pregunta es, ¿por qué cada historiador y autor afirmación de que Euler de la primera prueba de $\displaystyle \zeta (2)=\frac{\pi^2}{6}$ no fue riguroso en absoluto, porque Euler no probar su famoso infinito producto en su vida cuando la prueba de la relación entre la cotangente y la serie armónica implica directamente su infinita producto?

EDIT:lo siento por hacer esto, pero desvergonzado auto golpe.

No tengo respuestas y una vez más, lo siento.

Answer 1

Estoy respondiendo a la pregunta en el contenido, el título está pidiendo algo sobre el infinito del producto.

¿por qué cada historiador y autor afirmación de que Euler de la primera prueba de $\displaystyle \zeta (2)=\frac{\pi^2}{6}$ no fue riguroso en todos los

Euler primera derivación fue hecho por la factorización de la serie infinita por el pecado, incluso el de Euler, el mismo no estaba satisfecho con ese método y a pesar de que el método era correcta en lo finito casos justificados para el caso infinito, debido a que el hecho de que más tarde Euler dio la alternativa (más)pruebas rigurosas. (riguroso de ser lo que se considera aceptable por otros matemáticos de la época.)

Después de la primera prueba fue considerada no riguroso por el maestro de sí mismo, ningún otro hecho/rigurosas pruebas puede cambiar la cantidad de rigor de la prueba. El infinito producto fue hecho de manera rigurosa por Weierstrass y su tratamiento de Toda la teoría de la función. :

PS: Lo que cada vez la primera prueba carecía de rigor que se hizo en el ingenio.