¿Consecuencias de ser independiente y condicionalmente independiente?

Question

Supongamos que $A$ , $B$ y $C$ son variables aleatorias. Si $A$ y $B$ son independientes, y también son condicionalmente independientes dado $C$ ¿podemos concluir que $A$ y $C$ son independientes o $B$ y $C$ son independientes? ¿O hay un caso en el que, dadas las restricciones, $C$ puede seguir dependiendo de ambos $A$ y $B$ ?

Esta pregunta se inspiró en las configuraciones de redes bayesianas. He intentado demostrar lo primero sin suerte, y no he podido encontrar nada en Internet que me ayudara, así que he pensado que tal vez ni siquiera sea cierto. ¿Podría alguien proporcionar una prueba o un contraejemplo (o algún otro razonamiento de por qué es falso)?

Answer 1

¿Y si $C \in \{1, 2, 3, 4\}$ igualmente probable y

\begin{align} C=1 \implies A=0, B=0\\ C=2 \implies A=0, B=1\\ C=3 \implies A=1, B=0\\ C=4 \implies A=1, B=1 \end{align}

Answer 2

He aquí una familia de contraejemplos:

Dejemos que $A$ y $B$ sean independientes, ambas casi seguramente no nulas, ambas tomen valores tanto positivos como negativos con probabilidad no nula.

Dejemos que $C$ igual $1$ si $(A,B)$ se encuentra en el primer cuadrante, $2$ si $(A,B)$ se encuentra en el segundo cuadrante, etc.

$A$ y $C$ no son independientes, y tampoco lo son $B$ y $C$ pero $A$ y $B$ siguen siendo independientes condicionados a $C$ .

Answer 3

Necesitamos las cosas $A$ nos enseña sobre $C$ no tienen relevancia para $B$ y viceversa. Así pues, dejemos que $C$ toman cuatro valores de manera uniforme, codificados como las esquinas del cuadrado. Y luego, condicionado a $C,$ dejar $A$ y $B$ ser constante $0$ o $1$ (por tanto, condicionalmente dependiente, con $A$ dependiendo de si $C$ está en la parte superior o inferior del cuadrado, y $B$ dependiendo de si $C$ está en el lado izquierdo o derecho del cuadrado. A continuación, $A$ y $B$ también será incondicionalmente independiente.