El tratamiento estándar de la uno-dimensional cuántica oscilador armónico simple (SHO) mediante la elevación y el descenso de los operadores llega al contables base de autoestados $\{\vert n \rangle\}_{n = 0}^{\infty}$ cada uno con su correspondiente autovalor $E_n = \omega \left(n + \frac{1}{2}\right)$. Se refieren a esta construcción como el resumen de la solución.
¿Cómo funciona el resumen de la solución también demostrar la unicidad? ¿Por qué hay sólo una única secuencia de contables autoestados? En particular, se puede demostrar el estado $\vert 0\rangle$ es el único estado del suelo sin tener que recurrir a coordinar la representación? (Entonces se sigue que el conjunto de $\{\vert n \rangle\}_{n = 0}^{\infty}$ es único también.)
La singularidad de la condición es evidente si se resuelve el problema de coordinar la representación desde entonces trabaja en el ámbito de ecuaciones diferenciales, donde la singularidad teoremas abundan. La mayoría de los libros de texto ignorar este detalle (en especial, ya que a menudo resolver el problema, tanto en coordinar la representación y en abstracto), sin embargo, me he encontrado con dos excepciones:
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Shankar apela a un teorema que demuestra unidimensional sistemas no degenerada, sin embargo esto no es satisfactorio, por dos razones:
- No todos los sistema unidimensional es no degenerada, sin embargo, un resultado general puede ser probado de una gran clase de los potenciales (el SHO potencial está en una clase).
- La prueba requiere un punto de partida desde el resumen de la solución, ya que clasifica los potenciales de acuerdo a sus propiedades funcionales.
Griffiths aborda esta preocupación en una nota a pie de página que indica que la ecuación de $a \vert 0\rangle = 0$ únicamente determina el estado de $\vert 0\rangle$. Tal vez así se desprende del resumen de la solución, sin embargo no veo cómo.