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¿Prueba de que el oscilador armónico Simple unidimensional es no degenerado?

El tratamiento estándar de la uno-dimensional cuántica oscilador armónico simple (SHO) mediante la elevación y el descenso de los operadores llega al contables base de autoestados $\{\vert n \rangle\}_{n = 0}^{\infty}$ cada uno con su correspondiente autovalor $E_n = \omega \left(n + \frac{1}{2}\right)$. Se refieren a esta construcción como el resumen de la solución.

¿Cómo funciona el resumen de la solución también demostrar la unicidad? ¿Por qué hay sólo una única secuencia de contables autoestados? En particular, se puede demostrar el estado $\vert 0\rangle$ es el único estado del suelo sin tener que recurrir a coordinar la representación? (Entonces se sigue que el conjunto de $\{\vert n \rangle\}_{n = 0}^{\infty}$ es único también.)

La singularidad de la condición es evidente si se resuelve el problema de coordinar la representación desde entonces trabaja en el ámbito de ecuaciones diferenciales, donde la singularidad teoremas abundan. La mayoría de los libros de texto ignorar este detalle (en especial, ya que a menudo resolver el problema, tanto en coordinar la representación y en abstracto), sin embargo, me he encontrado con dos excepciones:

  • Shankar apela a un teorema que demuestra unidimensional sistemas no degenerada, sin embargo esto no es satisfactorio, por dos razones:

    1. No todos los sistema unidimensional es no degenerada, sin embargo, un resultado general puede ser probado de una gran clase de los potenciales (el SHO potencial está en una clase).
    2. La prueba requiere un punto de partida desde el resumen de la solución, ya que clasifica los potenciales de acuerdo a sus propiedades funcionales.
  • Griffiths aborda esta preocupación en una nota a pie de página que indica que la ecuación de $a \vert 0\rangle = 0$ únicamente determina el estado de $\vert 0\rangle$. Tal vez así se desprende del resumen de la solución, sin embargo no veo cómo.

27voto

Stefano Puntos 763

I) depende de cómo abstracto OP quiere ser. Dicen que descartamos cualquier referencia a la 1D de la geometría, y la posición y el impulso de los operadores de $\hat{q}$$\hat{p}$. Decir que sólo sabemos que

$$\etiqueta{1}\frac{\hat{H}}{\manejadores\omega} ~:=~ \hat{N}+\nu{\bf 1}, \qquad\qquad \nu\in\mathbb{R},$$ $$\tag{2} \hat{N}~:=~\hat{a}^{\dagger}\hat{a}, $$ $$\etiqueta{3} [\hat{a},\hat{a}^{\daga}]~=~{\bf 1}, \qquad\qquad[{\bf 1}, \cdot]~=~0.$$

(Ya hemos eliminado cualquier referencia a la geometría, ya no hay ninguna razón por la $\nu$ debe ser un medio, por lo que hemos generalizado para cualquier número real $\nu\in\mathbb{R}$.)

II) a continuación, suponga que los estados físicos vivir en un producto interior espacio de $(V,\langle \cdot,\cdot \rangle )$, $V$ forma no trivial de la irreductible unitaria representación de Heisenberg álgebra,

$$\tag{4} {\cal A}~:=~ \text{associative algebra generated by $\hat{a}$, $\hat{a}^{\daga}$, and ${\bf 1}$}.$$

El espectro de un semi-positiva operador $\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$ es siempre no negativo,

$$\tag{5} {\rm Spec}(\hat{N})~\subseteq~ [0,\infty[.$$

En particular, el espectro de ${\rm Spec}(\hat{N})$ está delimitada desde abajo. Debido a que el operador $\hat{N}$ conmuta con el Hamiltoniano $\hat{H}$, podemos usar $\hat{N}$ a clasificar los estados físicos. Permítanos boceto de cómo el argumento estándar va. Decir que $|n_0\rangle\neq 0$ es una normalizado eigenstate para $\hat{N}$ con autovalor $n_0\in[0,\infty[$. Podemos utilizar la bajada de la escalera (aniquilación) operador $\hat{a}$ varias veces para definir nuevos autoestados

$$\tag{6} |n_0- 1\rangle,\quad |n_0- 2\rangle, \quad\ldots$$

que, sin embargo, podría tener cero norma. Dado que el espectro ${\rm Spec}(\hat{N})$ está delimitada desde abajo, esta reducción en el procedimiento (6) debe parar en una cantidad finita de pasos. No deben existe un entero $m\in\mathbb{N}_0$ tal que cero norma se produce

$$\tag{7} \hat{a}|n_0 - m\rangle~=~0.$$

Suponga que $m$ es el más pequeño de tales enteros. La norma es

$$\etiqueta{8} 0 ~=~ || ~\hat{a}|n_0 - m\rangle ~||^2 ~=~ \langle n_0 - m|\hat{N}|n_0 - m\rangle ~=~ ( n_0 - m) \underbrace{||~|n_0 - m\rangle~||^2}_{>0},$$

por lo que el original autovalor es un entero

$$\tag{9} n_0 ~=~ m\in\mathbb{N}_0,$$

y eq. (7) se convierte en

$$\tag{10} \hat{a}|0\rangle ~=~0,\qquad\qquad \langle 0 |0\rangle ~\neq~0.$$

Podemos próximo uso, a la elevación de la escalera (la creación) operador $\hat{a}^{\dagger}$ varias veces para definir nuevos autoestados

$$\tag{11} |1\rangle,\quad |2\rangle,\quad \ldots.$$

Por una norma similar argumento, se puede ver que esta incorporación (11) no puede crear, finalmente, un cero norma del estado, y por lo tanto se va para siempre/no se detiene. De manera inductiva, en la etapa de $n\in\mathbb{N}_0$, la norma sigue siendo no-cero,

$$\etiqueta{12} || ~\hat{a}^{\daga}|n\rangle ~||^2 ~=~ \langle n|\hat{a}\hat{a}^{\daga}|n\rangle~=~ \langle n|(\hat{N}+1)|n\rangle ~=~ (n+1) ~\langle n|n\rangle~>~0. $$

Por lo $V$ contiene al menos una copia completa de la norma espacio de Fock. Por otro lado, por la irreductibilidad de la asunción, el espacio vectorial $V$ no puede ser más grande, y $V$ es, por tanto, más que un estándar de espacio de Fock (hasta el isomorfismo).

III) Finalmente, si $V$ no es irreducible, entonces $V$ podría ser una suma directa de varios espacios de Fock. En el último caso, el estado del suelo de los niveles de energía es degenerado.

4voto

heathrow Puntos 25

Cada uno de dimensiones potenciales en el sistema tiene una única vacío, porque es el mínimo de los siguientes funcional

$$ \int |\psi'|^2 + V(x) |\psi|^2 dx$$

Cual es minimizada por un real positivo (nodeless) función de onda. Si hay dos mínimos (si es que hay una degeneración), entonces la combinación lineal de las dos wavefunctions tener un nodo, y esto es incompatible con un regular potencial.

La única manera de tener degenerados de tierra de los estados (o dos separadas de tierra independiente de los estados) es para el potencial V para tener una infinita duro muro que separa a las diferentes regiones. De lo contrario, la función de onda del estado fundamental está en todas partes nonvanishing y la combinación lineal/nodo argumento anterior funciona.

Para el oscilador armónico, es un poco más trivial demostrar que este general cosas, porque el estado es aniquilada por la aniquilación del operador $x+ip$, y este es un primer orden de la ecuación diferencial con exactamente una solución a un reescalado, que es la base del estado de Gauss.

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