Me encontré con el siguiente problema en mi texto Una Introducción al Análisis por William Wade. Fue el último problema de la sección y tiene un * junto a él. No estoy seguro de si esto indica un problema o desafío que este problema es de alguna importancia. Las secuencias, creo, se supone que la igualdad de $\pi$, por lo que se sugiere a mí que más de un significado.
He intentado buscar el problema, como me imaginé cualquier cosa que es igual a $\pi$ es casualidad y debe ser un ejemplo famoso. Pero, 'Arquímedes Pi Secuencia', y otras variantes de rendimiento muy diferente de los resultados de este problema. Estaba esperando que alguien podría proporcionar un enlace a la prueba (suponiendo que de hecho es famoso) o proporcionar una relación de esquema para que yo pudiera intentar seguir a lo largo de/trabajo a través de él.
El problema es:
[Arquímedes] Supongamos que $x_0=2\sqrt{3}, \quad y_0=3$, $$x_n=\frac{2x_{n-1}y_{n-1}}{x_{n-1}+y_{n-1}},$$ y $$y_n=\sqrt{x_{n}\cdot y_{n-1}}$$ para $n\in \mathbb N$.
Demostrar que $x_n \downarrow x$$y_n \uparrow y$$n\to \infty$, para algunas de las $x,y \in \mathbb R$.
Siguiente, probar $x=y$ y $3.14155\lt x\lt 3.14161$. (Esta es la razón por la que creo $x=y=\pi$)
Edit: entiendo que si podemos mostrar a $x_n$ es decreciente y convergente a $x$, e $y_n$ es creciente y convergente a $y$, podemos reconocer la Monotonía Teorema de Convergencia. Después de lo cual, aplicar el límite de las dos ecuaciones para obtener la $x$$y$. El problema que estoy teniendo es la comprensión de cómo llegar allí, y después de que estamos ahí, cómo se muestra es igual a $\pi$. Aunque, si entiendo cómo llegamos allí el $\pi$ parte podría venir juntos.
