Funciones generadoras geométricas

Question

Sea $p(t) = t^3 + Ft^2 + Et + V$ donde $F,E,V$ son el número de caras, aristas y vértices de un cubo, respectivamente.

Factor $p(t)$ y explique sus resultados en términos de funciones generadoras.

Una pista que me dieron: En primer lugar, puedes intentar factorizar el polinomio correspondiente para un cuadrado. Es decir, factorizar $t^2+Et+V$ donde $E$ y $V$ son el número de aristas (lados) y vértices (esquinas) de un cuadrado. ¿Puedes explicar el resultado?

Answer 1

En $(d+1)$ -es el producto cartesiano de los cubos $d$ -y el cubo 1, también conocido como intervalo unitario. Tu observación es un reflejo del hecho de que la "función generadora de caras" de un producto caresiano es el producto de las funciones generadoras de sus factores. Así, para el $d$ -la función generadora es $(t+2)^d$ .

Esto no es una prueba completa, porque no he verificado el "hecho". Esto es razonablemente sencillo cuando uno de los factores es el intervalo unitario, que es todo lo que necesitamos aquí.

Answer 2

Estamos calculando el producto $(1+1+t)(1+1+t)(1+1+t)$ para lo cual seleccionamos un término de cada factor en todos los $27$ formas posibles y sumando el resultado.

Interpretar los tres factores como la $x$ , $y$ y $z$ coordenadas. Seleccionamos la primera $1$ si queremos que esa coordenada sea 0, la otra si queremos que sea $1$ . Y seleccionamos el $t$ si permitimos que sea algo.

Con esta construcción, ¿cuántas formas hay de obtener, por ejemplo, una arista? Elegimos valores para dos de las coordenadas y permitimos que la tercera sea cualquiera. Cada combinación de este tipo tendrá exactamente una $t$ en él, por lo que esto demuestra que el número de aristas es igual al coeficiente de $t$ en la función generadora. Los demás coeficientes son exactamente análogos.

La cuestión es que una celda de un cubo se determina exactamente especificando coordenadas precisamente de esta manera: tú decides qué coordenadas quieres restringir, y cómo.