¿$\int_{1}^{\infty} \frac{\mathrm dx}{x^{\alpha}-1} $ Converge?

Question

Hice una búsqueda rápida aquí, pero no podía encontrar un problema similar (probablemente en algún momento...)
Estoy atascado con este simple incorrecto integral:

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}-1} \mathrm dx$

Ahora, veo que puede ser dividido en dos separados integrales, así como de hacer frente a un "problema" en un momento:

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{\alpha}-1}dx=\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{\alpha}-1}dx+\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{\alpha}-1}dx$

El de más a la derecha integral, $\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x^{\alpha}-1}dx$, es convergente si y sólo si $\alpha>1$, que es fácil de ver.

Mi problema parece ser con el otro, de 1 a 2. Quiero decir, me doy cuenta de que si $\alpha\ge1$ es divergente (espero...). Me parece que no puede formalmente muestran que. Es posible utilizar la prueba de comparación (así, por convergencia absoluta), pero ¿con qué función?

Esta es, probablemente, muy simple y solo estoy teniendo un "espacio en blanco" momento. Agradecería cualquier tipo de ayuda.

Answer 1

Sugerencia: solo nos preocupamos por$\alpha\gt 0$, de lo contrario, hay un problema grave en$\infty$. Dejar $x=1+t$. Estamos interesados en$(1+t)^\alpha-1$ para positivos$t$ cerca de$0$. El teorema de Usin Taylor, o de lo contrario, tenemos$(1+t)^\alpha-1=\alpha t+O(t^2)$. Entonces, si$t$ es positivo y lo suficientemente cerca de$0$,$(1+t)^\alpha -1\lt 2\alpha t$. Luego use la prueba de comparación para concluir que la integral diverge.