Serie de Fourier de $\sqrt{1 - k^2 \sin^2{t}}$

Question

Estoy luchando con una serie de Fourier. Necesito encontrar la serie de Fourier de la siguiente función.

Esa es la función que se estudia: $f(t)=\left[\sqrt{1-k^2\sin^2t}\,\right]$ .

La función es par y $\pi$ -periódico.

La serie de Fourier debe tener esta forma: $f(t)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{i=1}^\infty a_n\cos[2nt]$ .

En $t\to0$ la serie de Taylor es: $$f(t)=\left[\frac{2E[k^2]}\pi+\sum_{i=0}^\infty\frac1{2^{2i-1}}\pmatrix{1/2\\ i}(k)^{2i}\sum_{j=0}^{i-1}(-1)^j\pmatrix{2i\\j}\cos(2(i-j)t) \right].$$

Se acerca bastante a la serie final de Fourier pero no encuentro el coeficiente $a_n$ por identificación. ¿Puede alguien dar una ayuda sobre esto? PS: $k\ll 1$ es real y $E(k^2)$ es la integral elíptica completa del segundo tipo.

Answer 1

He aquí una aproximación. Expandimos la función $f(x)$ utilizando su serie de Taylor como

$$ f(x)= \sum_{m=0}^{\infty}{ -\frac{1}{2} \choose m }(-1)^m k^{2m}\sin^{2m}(t) . $$

Tenemos que encontrar $a_n$ que vienen dados por

$$ a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx =\sum_{m=0}^{\infty}{ -\frac{1}{2} \choose m }(-1)^m k^{2m}\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^{2m}(t)\cos(nx)dx . $$

Ahora tu trabajo es evaluar la última integral y tratar de terminar el problema.