En qué sentido es un functor totalmente fiel equivalente a la inclusión de una subcategoría completa

Question

En el nLab página para tamices y en otro lugar se afirma que una totalmente fieles functor es 'equivalente' a la inclusión functor de un completo subcategory -- ¿qué es esto quiere decir, explícitamente?

Existen equivalencias en la $2$-categoría de functors, natural de transformaciones y modificaciones entre los fieles functors y las inclusiones de lleno subcategorías? Hay una equivalencia de categorías entre el dominio de la categoría de totalmente fieles functor y un completo subcategoría de la codominio de la categoría? Concretamente:

¿Qué significa la no-forma heurística que totalmente fieles functor puede ser considerado como una subcategoría?

Estoy tratando de entender tamices y toda la literatura que he encontrado que las define como plenamente fiel discretos fibrations, a continuación, inmediatamente comienza a discutir como subcategorías cerrado bajo precomposición, y yo estoy perdiendo la conexión exacta entre estas dos interpretaciones.

Es claro que para cualquier functor $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ tenemos $F(\mathcal{C})$ como una subcategoría de $\mathcal{D}$ e $F(\mathcal{C})$ es una subcategoría de iff $F$ es completa; se relaciona con el significado deseado? Esto es incorrecto, gracias a Jendrik para la captura de los errores en los comentarios.

Answer 1

Si $F:C\to D$ es totalmente fiel functor y $D_0$ es el total de la subcategoría de $D$ sobre los objetos en la imagen de $F$, a continuación, $F$ restringe a una equivalencia de categorías $C\to D_0$. Por el contrario, la inclusión functor $D_0\to D$ es totalmente fiel, y así lo es su composición con cualquier equivalencia de categorías $C\to D_0$. Así que un functor es totalmente fiel iff es la composición de una equivalencia de categorías, seguido por la inclusión de un completo subcategoría. Para la mayoría de propósitos (más precisamente, para cualquier fin que no se ven afectados por la precomposición con una equivalencia de categorías), esto significa que usted puede asumir cualquier plenamente fiel functor en realidad es sólo la inclusión de un completo subcategoría.