$S^4\setminus S^2$ es homeomorfo a$\Bbb{R}^4 \setminus\Bbb{R}^2$

Question

Necesito mostrar que $S^4\setminus S^2$ es homeomórficos a $\Bbb{R}^4 \setminus\Bbb{R}^2$, $\Bbb{R}^2 = \{(x,y,0,0):x,y\in\Bbb{R}\}\subseteq\Bbb{R}^4$ e $S^2 = \{(x,y,z,0):x^2+y^2+z^2=1\}$.

Ahora, la solución del modelo de los estados que la homeomorphism sostiene mediante la proyección estereográfica de un punto en $S^2$.

Para ser un modelo de solución, parece audaz para mí. Yo no habría sentí lo suficientemente seguro como para el estado, que en un examen. A pesar de que estamos hablando de 4 dimensiones, hay alguna manera de tener una clara intuición acerca de este hecho?

Answer 1

Usted sabe que la proyección estereográfica es una homeomorphism entre una esfera (de cualquier dimensión), menos de un punto y el espacio Euclídeo de dimensión. Ahora, si se hace la proyección estereográfica se define en $\Bbb S^4$ menos que el punto de $(1,0,0,0)$ en $\Bbb S^2$, esto le dará un homeomorphism entre eso y $\Bbb R^4$. Si usted restringir que a $\Bbb S^4\setminus \Bbb S^2$, los puntos que usted se retire de la imagen de la proyección parece ser precisamente el $\Bbb R^2$ correspondiente a $\Bbb S^2$ bajo el "mismo" proyección (di cuenta de que en el hyperplane $\Bbb R^3\times \{0\}$). Por lo tanto se restringe a $\Bbb S^4\setminus \Bbb S^2\cong \Bbb R^4\setminus \Bbb R^2$.

---

La integridad, la deje $N \in \Bbb S^n$ ser un punto. Para cualquier $p\in \Bbb S^n$, considerar el rayo de partida en $N$ y pasando a través de $p$. Dicha línea se cruza el hyperplane $N^\perp$ en exactamente un punto de ${\rm St}_N(p)$. Esto define un homeomorphism entre $\Bbb S^n\setminus\{N\}$ e $N^\perp$, cuya inversa se construye como sigue: dado $x\in N^\perp$, considere la recta que pasa por a$x$ e $N$. Cruzará $\Bbb S^n$ en dos puntos distintos. Una es $N$ sí -- llamar a la otra ${\rm St}_N^{-1}(x)$.