Incrustación de variedad exótica

Question

Mientras resolvía algunos problemas de Topología Diferencial, me hice esta pregunta: ¿Supongamos que una variedad suave tenga al menos dos estructuras suaves exóticas y pueda ser incrustada en algún espacio euclidiano bajo una estructura suave; ¿lo mismo sucederá para la otra estructura suave?

En otras palabras, ¿los espacios euclidianos de menor dimensión en los que la variedad se incrusta bajo diferentes estructuras suaves serán los mismos?

PD. Estoy haciendo esta pregunta solo por mi curiosidad.

Answer 1

No necesariamente. Aquí hay un ejemplo (no compacto).

Hay infinitas estructuras suaves en $\mathbb{R}^4$. Se dice que un $\mathbb{R}^4$ exótico es pequeño si se puede incrustar suavemente en el estándar $\mathbb{R}^4$, y grande en caso contrario; existen $\mathbb{R}^4$ tanto pequeños como grandes. Un $\mathbb{R}^4$ pequeño (o estándar $\mathbb{R}^4$) se incrusta en $\mathbb{R}^4$, los grandes $\mathbb{R}^4$ no. Así que el menor $n$ para el cual un $\mathbb{R}^4$ grande se incrusta en $\mathbb{R}^n$ satisface $n > 4$ (y $n \leq 8$ según el Teorema de Incrustación de Whitney). De hecho, todo $\mathbb{R}^4$ grande se incrusta en $\mathbb{R}^5$, ver esta pregunta.

Answer 2

Cada esfera exótica (de dimensión $\ge 7$) es un ejemplo. De hecho, supongamos que $\Sigma$ es una esfera exótica de dimensión $n$ y que se incrusta (suavemente) en $R^{n+1}$. Entonces, enmarca un subvariedad compacta contractible $W$ de $R^{n+1}$. Ahora, quite una pequeña bola $B$ de $W$. El resultado es un h-cobordismo entre $\Sigma$ y el límite de $B$, que es la esfera usual $S^n$. Por lo tanto, por el teorema de h-cobordismo suave, $\Sigma$ es difeomorfa a $S^n$.