Entendiendo la integración sobre el grupo ortogonal

Question

Deje $M$ ser $n \times n$ matriz, y $O_n$ ser el grupo ortogonal de $n \times n$ matriz. Calcular el $ m_1 = \int_{O_n}tr(M)dV$ e $m_2 = \int_{O_n} tr(M)^2dV$ donde tr(M) se define como la traza de M.

Me dieron la clave de respuestas, pero no acabo de entenderlo. La clave de respuestas realizadas a las siguientes demandas:

"Dado que el volumen integral es invariante bajo la traducción en la ortogonal grupo, es invariante bajo permuting las coordenadas, y en virtud de la multiplicación de una fila o columna por -1. Tenemos

$\int_{O_n} tr(M) dV = \int_{O_n} \sum_i M_{ii}dV = n\int_{O_n}M_{11}dV = 0$

También

$\int_{O_n}tr(M)^2dV = \int_{O_n} (nM^2_{11} + (n^2 -n) M_{11} M_{22}dV = \int_{O_n} n M^2_{11}dV = \int_{O_n} \sum_i M^2_{1i}dV = \int_{O_n} 1dV$"

Tengo muy poco conocimiento de este, en concreto, no entiendo la siguiente:

1. qué entiende por integración sobre el grupo ortogonal

2. Cada paso de $ \int_{O_n} \sum_i M_{ii}dV = n\int_{O_n}M_{11}dV = 0$

con estos dos, creo que puedo adivinar el resto. Realmente apreciaría si alguien me puede ayudar, gracias de antemano.

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edit 1:

Por ello, desde mi entendimiento tan lejos, $O_n$ puede ser visto como un conjunto de punto en donde el real_valued función, tr(M) se integra más. $M_{11}$ es integrado a través de $O_n$ como una función constante.

Yo todavía no entiendo muy bien la parte de permuting la $i^{th}$ fila y columna de la M a la primera fila y columna es igual a $\int_{O_n} M_{11}dV$

Si M está dada por \begin{bmatrix} a & b \\c & d \end{bmatrix} a continuación, $\int_{O_2} tr(M)dV = \int_{O_2} (a + d) dV = 2 \int_{O_2} a dV$? Si es así, entonces $2 \int_{O_2} a dV = 2 \int_{O_2} d dV = 2d \int_{O_2} dV = 2a \int_{O_2} dV$, a continuación, $a = d$ o $\int_{O_2} dV = 0$?

Answer 1

Ok, así que para su primera pregunta creo que lo que se quiere decir es lo siguiente. Una matriz de $A \in M_{n \times n} (\mathbb{R})$ ha $ n^2$ entradas. Así que uno puede pensar de cualquier matriz como un vector en un $\mathbb{R}^{n^2}$.

Es decir, se puede definir un bijection $\phi : \{1, \ldots,n\} \times \{1, \ldots, n \} \rightarrow \{1, \ldots, n^2 \}$ lo que induce a la siguiente identificación de matrices como vectores.

$$\alpha : M_{n \times n} (\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{n^2} \text{ where }M \rightarrow (M_{\phi(i,j)})$$

El uso que por lo tanto, podemos integrar sobre las funciones de la forma

$$ f: M_{n \times n} (\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$$

como

$$\int_{A} f dV = \int_{\alpha(A)}f \circ \alpha^{-1}(x) d\mathcal{L} $$

donde en su caso $A$ es el grupo ortogonal.

Básicamente, usted está tomando las matrices y el aplanamiento de ellos hasta que sean sólo los vectores.

Obviamente, la pregunta ahora es el tiempo o no nuestros integral depende de nuestra elección de alfa. Por suerte para nosotros no y esto se reduce a la integral de ser invariantes bajo la reordenación de las coordenadas.

Answer 2

qué entiende por integración sobre el grupo ortogonal

El grupo ortogonal es localmente compacto grupo (de hecho es compacto), por lo que admite una medida de Haar (que es la derecha y la izquierda invariante). Básicamente, esta es una medida $dV$ sobre los subconjuntos de Borel $O(n)$ que es invariante bajo la traducción de los elementos en $O(n)$. Esto explica la primera igualdad.

Cada paso de $\int_{O_n} \sum_i M_{ii}dV = n\int_{O_n}M_{11}dV = 0$

Bueno, primero que claramente tenemos que $\int_{O_n} \sum_i M_ii dV = \sum_i \int_{O_n} M_{ii} dV$. Considerar uno de estos sumandos

$$\int_{O_n} M_{ii} dV$$ The point now is that we integrate over all matrices, this term is intuitively zero because for every matrix $M$ there will be a matrix $N$ such that $N_{ii}=-M_{ii}$. Formally we can permute rows and columns of $M$ by multiplying by some elementary matrix so by replacing the $i$'th row with the first row and the $i$'th column with the first column this equals to $\int_{O_n} M_{11} dV$. Esto prueba la primera igualdad.

también multiplicando por la matriz que corresponde a la multiplicación de la primera fila por $-1$ tenemos que $$\int_{O_n} M_{11} dV=\int_{O_n} -M_{11} dV$$ de ahí que tanto los argumentos son cero.