Deje a$\lambda \in \mathbb{R}, \lambda > 0$ y deje a$X, Y, Z \sim P(\lambda)$ (tienen distribución de Poissons) variables aleatorias independientes ..

Question

Deje $\lambda \in \mathbb{R}, \lambda > 0$ y deje $X, Y, Z \sim P(\lambda)$ (tienen Poissons de distribución) independiente de las variables aleatorias. Calcular el $Var (XYZ) $.

He intentado mediante el cálculo de $ \mathbb{E} (XYZ) ^2 ( = \lambda ^6)$ porque $X,Y,Z$ son independientes y $(\mathbb{E} (XYZ) )^2 ( = \lambda ^6)$ (deje $g$ ser función de lo $g(X) = X^2$ y, a continuación, debido a que $X,Y,Z$ son independientes en el se $g(X), g(Y), g(Z))$ lo que significa que $Var(XYZ) =0$. Es eso correcto?

Answer 1

Para una variable de Poisson, $E(X^2)=\lambda(\lambda+1)$ , y no $\lambda$ .

Answer 2

¡No puedo seguir tu argumento! No está muy claro. Ya que $X,Y,Z$ son independientes, de hecho $$\mathbb E[XYZ]=\mathbb E[X]\mathbb E[Y]\mathbb E[Z]$$ and $$\mathbb E[(XYZ)^2]=\mathbb E\left[X^2\right]\mathbb E\left[Y^2\right]\mathbb E\left[Z^2\right].$$ Now, $$\mathbb E[X^2]=\mathbb E[Y^2]=\mathbb E[Z^2]=\lambda +\lambda ^2.$$ This because $$Var(X)=\lambda =\mathbb E[X^2]-\mathbb E[X]^2=\mathbb E[X^2]-\lambda ^2.$$ (same with $ Y, Z $ ). Te dejo concluir.