La pulga en el tablero de ajedrez infinito saltando con un vector irracional eventualmente cambia de color cuadrado

Question

Pregunta de Engel Estrategias de solución de Problemas:

Un infinito tablero de ajedrez consta de $1 \times 1$ plazas. Una pulga se inicia en un cuadrado blanco y hace saltos por $\alpha$ a la derecha y $\beta$ hacia arriba, donde $\alpha$ e $\beta$ son números reales tales que la relación de $\alpha / \beta$ es irracional (por Lo que la pulga salta en diagonal). Demostrar que tarde o temprano va a llegar a un cuadrado negro.

WLOG supongamos que la pulga se inicia en $(0,0)$. Así que la pulga pasos en las coordenadas $(k\alpha, k\beta)$, para todos los $k \in \mathbb{N}$. Necesito mostrar que eventualmente $\lfloor{k\alpha}\rfloor + \lfloor{k \beta}\rfloor$ es un número par.

Así que debe demostrar que $\lfloor{k\alpha}\rfloor$ e $\lfloor{k \beta}\rfloor$ el tiempo debe tener la misma paridad. Intuitivamente sé que no debe existir $k$ tal que $\lfloor k\alpha \rfloor$ e $\lfloor (k+1) \alpha \rfloor$ tienen la misma paridad, mientras que $\lfloor k\beta \rfloor$ e $\lfloor (k+1)\beta \rfloor$ tienen distinta paridad.

¿Cómo puedo hacer esto?

Answer 1

No estoy muy seguro sobre el sistema de coordenadas que está utilizando. Si su $(0,0)$ está destinado a ser la esquina inferior izquierda de la primera cuadrado blanco, a continuación, ya que es en la esquina, también en el límite, por lo que en teoría podría considerarse, de la $4$ plazas en esa esquina.

Para evitar tales problemas, voy a definir las coordenadas y el punto de partida que voy a utilizar de esta manera. El $S_{a,\ b}$ plaza, para $a, b \in \mathbb{Z}$, es definido por $a \lt x \lt a + 1$ e $b \lt y \lt b + 1$. Supongo que el $S_{0,\ 0}$ cuadrado es de color blanco. A continuación, los cuadros blancos son $S_{a,\ b}$ donde $a$ & $b$ tienen la misma paridad y los cuadrados negros se $S_{a,\ b}$ donde $a$ & $b$ tienen paridades opuestas.

Asumir la pulga se inicia en el medio de la $S_{0,\ 0}$ blanco cuadrado, es decir, en las coordenadas $(0.5,0.5)$. Vamos

$$\alpha = 2 - r \tag{1}\label{eq1}$$

$$\beta = r \tag{2}\label{eq2}$$

donde $0 \lt r \lt 1$ es un número irracional. A continuación, $\alpha$, $\beta$ e $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{r} - 1$ son todos irracional. Después de $k$ salta, la pulga será en $(0.5 + k\alpha,0.5 + k\beta)$. Dado que tanto $\alpha$ e $\beta$ son irrationals, ni $0.5 + k\alpha$ o $0.5 + k\beta$ pueden ser números enteros, así que no hay preocupación acerca de aterrizaje en una frontera. A la tierra en un cuadrado negro requiere que $\lfloor 0.5 + k\alpha \rfloor + \lfloor 0.5 + k\beta \rfloor$ ser un entero impar desde la $2$ términos enteros deben tener enfrente de las paridades. Vamos

$$kr = 0.5 + n + s \tag{3}\label{eq3}$$

donde $n \in \mathbb{Z}$ e $0 \lt s \lt 1$. El uso de $\eqref{eq1"}$, $\eqref{eq2}$ y $\eqref{eq3}$ da

$$\begin{align} \lfloor 0.5 + k\alpha \rfloor & = \lfloor 0.5 + 2k - kr \rfloor \\ & = \lfloor 2k - n - s \rfloor \\ & = 2k - n - 1 \tag{4}\label{eq4} \end{align}$$

$$\begin{align} \lfloor 0.5 + k\beta \rfloor & = \lfloor 1 + n + s \rfloor \\ & = n + 1 \tag{5}\label{eq5} \end{align}$$

El uso de $\eqref{eq4}$ y $\eqref{eq5}$ da

$$\lfloor 0.5 + k\alpha \rfloor + \lfloor 0.5 + k\beta \rfloor = 2k \tag{6}\label{eq6}$$

Como tal, este siempre es un número entero y, por lo tanto, nunca voy a ser situado en un cuadrado negro.

Nota también puede utilizar su original $(0,0)$, si se define que de la esquina a la plaza a su derecha y arriba, con una caída de la $0.5$ parte de $\eqref{eq3}$ para obtener el mismo resultado.

Parece que el OP o a mí mismo, ha cometido un error o tiene un malentendido, el Engel Estrategias de Resolución de problemas, la pregunta no es correcta, o hay algún otro sin condición.