Claramente, $3 \in \mathbb{Z}$ no es una unidad, porque $1/3 \notin \mathbb{Z}$. ¿Qué teorema hace este tipo de razonamiento llamado a?

Question

Intuitivamente, podemos concluir que el $3$ no es una unidad en $\mathbb{Z}$ simplemente mediante la observación de que $1/3 \notin \mathbb{Z}$. Sin embargo, ¿qué este razonamiento realmente apelar a??? Es cierto que:

De conjetura. Todos los anillos $R$ y todos los $r \in R$, si existe un anillo $S$ y un homomorfismo h $\varphi : R \rightarrow S$ tal que $\varphi(r)$ tiene un inverso multiplicativo $s' \in S$ tal que $s' \notin \mathrm{im}\, \varphi$, entonces el $r$ no es una unidad en $R$.

Si no es así, ¿qué es la declaración correcta del teorema?

Answer 1

He visto a menudo la prueba "$\mathbb{Z}$, no es un campo: $2$ a no es invertible, ya que $1/2 \notin \mathbb{Z}$" (por supuesto, lo mismo puede decirse con $3$ en lugar de $2$). Pero esto no es una prueba. Es sólo una reformulación de la demanda: utilizamos la incrustación $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ y decir que $1/2 \in \mathbb{Q}$ no reside en la imagen de $\mathbb{Z}$. Ok, pero uno tiene que argumentar por qué este es el caso. ¿Por qué existe ningún número entero entre $0,1,-1,2,-2,\dotsc$, lo que se convierte en $1$ cuando duplicado? Por supuesto, esto lo aprendemos en la escuela, pero en la escuela no se aprende una prueba de esto. $^{(1)}$

De todos modos, aquí está una correcta prueba, de hecho, para una declaración más fuerte: $\pm 1$ son las únicas unidades de $\mathbb{Z}$. Para eso, vamos a $n \in \mathbb{Z}$. Suponga $n \geq 2$. A continuación, para cada $m \in \mathbb{Z}$ le tienen o $m \leq 0$, por lo tanto $mn \leq 0$ o $m \geq 1$, por lo tanto $mn \geq n > 1$, en particular, $mn \neq 1$ (estas propiedades de las desigualdades pueden ser derivados de cualquier definición formal de la serie de los números naturales, el uso de la inducción). Esta muestra $mn \neq 1$. Por lo tanto, $n$ no es una unidad en $\mathbb{Z}$. Asumiendo $n \leq -2$,$-n \geq 2$, por lo tanto $-n$ no es una unidad, y por lo tanto $n$ no es una unidad. $\square$

$^{(1)}$ Aquí hay otro ejemplo que espero que te convence de que esta prueba es incompleta: Considere el anillo de poder formal de la serie de, digamos, racional coeficientes de $\mathbb{Q}[[x]]$. Entonces uno podría decir "este no es un campo, ya que $\frac{1}{1-x} \notin \mathbb{Q}[[x]]$". Bueno, es cierto que a priori esta fracción no es representado como un poder formal de la serie. Y esta prueba falsa podría ser capaz de convencer a los estudiantes que hayan aprendido la definición de poder formal de la serie, y recuerda que $1-x$ no es una unidad en $\mathbb{Q}[x]$. Pero en realidad $1-x$ es una unidad, a la inversa, es la conocida serie geométrica $1+x+x^2+\dotsc$. En realidad este es el paso clave para la más general de resultado $R[[x]]^* = \{f \in R[[x]] : f(0) \in R^*\}$ para anillos conmutativos $R$. A partir de esto podemos construir más complicado de ejemplos, tales como

$$\frac{1}{x^2+x+1} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{3k} - \sum_{k=0}^{\infty} x^{3k+1},$$ $$\frac{1}{x^2+x-2}=\sum_{k=0}^{\infty} \bigl(-\frac{1}{3} - \frac{(-1/2)^k}{6}\bigr) x^k.$$

Answer 2

Sugerencia: Piense en la siguiente declaración verdadera y cómo se relaciona su conjetura.

Supongo que $r\in R$ es una unidad. Entonces, todo anillo homomorphisms $\varphi:R\to S$ $\varphi(r)$ es una unidad en $S$, con inversa $\varphi(r^{-1})$.

Answer 3

Su conjetura es verdad! Suponer lo contrario que $r$ es una unidad en $R$, $rs=1$, entonces el $\varphi(rs)=\varphi(r)\varphi(s)=1$, $\varphi(r)s'=1$ de la contradicción de decir.