Ayuda a entender cómo se construye un cono topológico.

Question

Esta es la definición de cono de la wikipedia:

Me cuesta entender por qué el cono tiene esa forma particular. Basándome en lo que entiendo sobre relaciones de equivalencia y cocientes, ¿no debería el cono consistir en copias de X sobre la longitud $(0,1]$ junto con la copia $X \times \{0\}$ ¿se derrumbó hasta un punto? La imagen mental que tengo de un cono es la de un cilindro, junto con un solo punto en la parte superior.

Si tomamos el conjunto $X$ para ser $S^1$ Por ejemplo, ¿en qué sentido el círculo "medio" del cono y el círculo $S^1 \times \{0.5\}$ en el equivalente del cilindro original?

¿Se supone que el último comentario de la imagen explica esta situación? Si es así, por favor, explique cómo funciona ese homeomorfismo.

Answer 1

La descripción de su imagen mental como un "cilindro, junto con un solo punto en la parte superior" es engañosa.

Por ejemplo, supongamos que empezamos con un "cilindro", a saber $S^1 \times [0,1]$ . Y para que coincida con la imagen de tu post, imaginemos que el $[0,1]$ dirección es al revés, con $0$ "encima" y $1$ en la parte inferior. Así, la parte superior de este cilindro es $S^1 \times 0$ .

Ahora, ¿cómo vamos a "colapsar $S^1 \times 0$ " a un punto? Si insistes en mantener la imagen del "cilindro", la geometría te engañará. En su lugar, debes distorsionar de alguna manera tu imaginación (y tu cilindro) para que todos los infinitos puntos del conjunto $S^1 \times 0$ de alguna manera "se convierten" o se "colapsan" en un punto.

Una forma de hacerlo es dejar que su cilindro se distorsione en un frustum (en realidad me refiero sólo al límite exterior del frustrum, no a todo el objeto sólido). Hasta ahora, el frustrum sigue siendo topológicamente igual que un cilindro. Ahora imaginemos que el círculo superior del frustrum se hace cada vez más pequeño. Mientras el círculo superior siga teniendo un radio positivo, el frustrum sigue siendo topológicamente igual que el cilindro. Pero en el límite, cuando el radio del círculo se hace $0$ te dan un cucurucho.

Dicho todo esto, cuando los topólogos trabajan formalmente con espacios cocientes como un cono, no se molestan en el proceso de "distorsión lenta". En su lugar, aprenden las abstracciones del topología del cociente y mapas de cociente y trabajan formalmente con eso. No obstante, el proceso de "distorsión lenta" puede seguir funcionando como una intuición útil.

Adenda para responder a una pregunta en los comentarios: La mejor respuesta a su pregunta es el concepto de mapa de cociente. En este caso, considere el cilindro $S^1 \times [0,1]$ y el cono $$C = \{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \,\,\bigm|\,\, z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2} , \,\, 0 \le z \le 1\} $$ Permítanme usar $A = (0,0,1)$ para el "vértice" del cono.

El mapa cociente para este ejemplo es la función continua y suryente $$f : S^1 \times [0,1] \to C $$ que se define por la fórmula $$f(x,y,z) = \left(x(1-z),y(1-z),z \right) $$ Obsérvese que la preimagen del vértice $f^{-1}(A)$ es igual a $S^1 \times \{1\}$ la "parte superior" del cono. También, $f$ es uno a uno sobre el subconjunto $C - \{A\}$ lo que significa que para cada punto $P \in C-\{A\}$ su preimagen $f^{-1}(P)$ es un solo punto. Por lo tanto, la respuesta a su pregunta sobre el círculo "medio" del cilindro es que $f$ mapas $S^1 \times \{0.5\}$ homeomórficamente en el círculo "medio" del cono, es decir, el círculo de la $z=0.5$ plano que satisface $\sqrt{x^2+y^2}=0.5$ .

Podría ser instructivo coger un libro de topología, leer la definición de un mapa cociente y verificar que $f$ es un mapa cociente. Esa comprobación sería exactamente como se comprueba rigurosamente la frase inicial de esa entrada de la wikipedia que has pegado en tu pregunta, comparando esa definición con el cono "ordinario" $C$ . Además, una vez comprobado esto, se puede citar un teorema sobre la naturaleza "universal" de la topología del cociente para concluir que el espacio del cociente $CX$ es efectivamente homeomorfo al cono "ordinario" $C$ .

Answer 2

También podrías pensar en los caminos. Si tomas los círculos inferior y superior y conectas dos puntos. A medida que el círculo superior se deforma, ese camino también se mueve. Así que la trayectoria que estaba en el límite del cilindro se formará en el límite del cono.