Demuestra que dos números son coprime

Question

Me encontré con otro problema y me encontré con una hermosa prueba de aquí a Escribir $1/1 + 1/2 + ...1/ (p-1)=a/b$$(a,b)=1$. Mostrar que $p^2 \mid a$ si $p\geq 5$. (véase Thomas Andrew post)

Pero pensé que él podría perder la prueba de que $(a_1,(p-1)!)=1,$ lo cual no es trivial para mí. (Como las definiciones de las $a_1$ e $p$ por favor consulte el enlace de arriba. Las definiciones son claras y sencillas).

Mi problema es que cómo demostrar a $(a_1,(p-1)!)=1$.

Traté de usar la propiedad que $(n,m)=(n.n+km)$ para cualquier enteros $n,m,k.$ Pero resulta que hace de la expresión desordenado y sucio. Y yo no puede ir más allá.

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Por definición $$a_1=\sum_{n=1}^{p-1}(\prod_{m\ne n}m).$$ So in fact $a_1$ and $(p-1)!$ need not be co-prime (for $p=7$, we have $a_1=1764$ and $(p-1)!$ is even). The proof in the linked question only requires that $p$ does not divide $(p-1)!$, which is clear: $(p-1)!$ is divisible only by primes $<p$.

P. S. En caso de que usted se está preguntando por qué la prueba sólo requiere que $p$ no divide $(p-1)!$, aviso de que se puede reducir la fracción $\frac{a_1}{(p-1)!}$ el más bajo de los términos de $\frac ab$, donde $a=\frac{a_1}{\gcd(a_1,(p-1)!)}$. Desde $p$ no divide $(p-1)!$, $\frac{a_1}{\gcd(a_1,(p-1)!)}$es divisible por $p^2$, de ahí la conclusión de la prueba.

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Espero que esto ayude.

Answer 2

No es neceassary tener $\text{gcd}(a_1,(p-1)!)= 1$. De Vieta de la fórmula, en $f(x)$, coef. de $x$ es la suma de todos los productos de $(p-2)$ raíces de $f(x)$ elegido en un momento. $$a_1=2\cdot3\cdots(p-1)+1\cdot 3\cdot \cdots(p-1)+\cdots +1\cdot 2\cdots (p-2)\\ =(p-1)!\grande(1+\frac{1}{2}+\frac13+\cdots + \frac1{p-1}\big) $$

por lo tanto, la suma es igual a $$\frac{a_1}{(p-1)!}$$ Si algunos de los factores comunes entre $a_1$ e $(p-1)!$ cancela, entonces también se $p^2|a_1$, como con todos los términos de $a_1$ contiene productos de los números por debajo de $p$.