Área media de la sombra de una forma convexa

Question

¿Cuál es el área media de la sombra de una forma convexa tomada sobre todas las orientaciones posibles?

Si tomamos una esfera, su superficie es exactamente 4 veces el área de su sombra. ¿Cómo se puede generalizar para cualquier forma convexa? Sé que hay muchos libros como "Introducción a la probabilidad geométrica", pero agradecería una explicación casi intuitiva.

Answer 1

El tamaño medio de la sombra proyectada por cualquier forma convexa 3D es $\frac{1}{4}$ veces su superficie.

1. Como la forma es convexa, se puede calcular el tamaño de su sombra a lo largo de una dirección determinada $\vec{u}$ sumando las sombras proyectadas por sus piezas de superficie:

   • Divida la superficie de la forma en pequeños parches de área.
   • Calcule el tamaño de la sombra de cada parche midiendo el tamaño del producto punto con $\vec{u}$ .
   • Suma los tamaños de cada uno de los parches de sombra.
   • Obsérvese que en realidad es el doble del tamaño de la sombra de la forma, porque hemos contado dos veces: cada parche tiene un homólogo en el "otro lado" de la forma, y ambos parches proyectan la misma sombra superpuesta. Así que debemos dividir el total por dos.

2. Dado que la sombra de una forma convexa puede calcularse sumando las sombras de sus parches de superficie individuales, el media La sombra se puede calcular de la misma manera:

   • Divida la superficie de la forma en pequeños parches de área.
   • Calcule la sombra media proyectada por el parche en todas las direcciones.
   • Suma las sombras medias de cada uno de los parches.
   • Divide el total por dos.

3. Existe una constante de proporcionalidad $\lambda$ que relaciona la superficie de cualquier objeto convexo con el tamaño medio de su sombra.

   • El tamaño de la sombra proyectada por una mancha, promediada en todas las direcciones, debería ser proporcional al área de la mancha. (Al fin y al cabo, tanto la mancha como la sombra tienen unidades de área, y si se amplía la mancha en una cierta cantidad se debería ampliar la sombra en la misma cantidad).

   • Se deduce que existe una constante de proporcionalidad $\lambda$ tal que si el área del parche es $A$ el área media de su sombra es $\lambda \cdot A$ .

   • Cuando calculamos la sombra media de la forma sumando las contribuciones individuales de cada parche, esta constante $\lambda$ será un factor de la suma. La suma restante es sólo la superficie de la forma.

   • Por lo tanto, la sombra media proyectada por una forma convexa debe ser $\lambda$ veces su superficie (dividida por dos).

4. Porque la constante de proporcionalidad $\lambda$ es la misma para todas las formas convexas, podemos utilizar una forma conocida para resolver su valor. Una esfera de radio 1 tiene una superficie $4\pi$ y proyecta una sombra de área $\pi$ en cada dirección. Por lo tanto, su área de sombra media en todas las direcciones es $\pi$ y la constante de proporcionalidad debe ser $$\lambda \equiv \frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}.$$

Por tanto, el tamaño medio de la sombra proyectada por cualquier forma convexa 3D es $\frac{1}{4}$ veces su superficie.

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5. Bonificación: Por extensión a $n$ dimensiones, habrá una constante de proporcionalidad $\lambda_n$ que relaciona la superficie exterior de un volumen convexo con el tamaño medio de su sombra. Podemos utilizar $n$ -Esferas de dimensiones, cuyas geometrías son conocidas, para calcular esas constantes.

   La constante $\lambda_n$ es el volumen de un $n-1$ bola (un disco, en nuestro ejemplo), dividido por la superficie de un $n-1$ esfera (una esfera, en nuestro ejemplo). Entonces, según las fórmulas estándar,

   $$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$$ $$A_n = \frac{2\cdot \pi^{\frac{n+1}{2}}}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}$$

   $$\lambda_{n+1} = \frac{V_{n}}{A_n} = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}\cdot \frac{\Gamma(\frac{n}{2}+2)}{2\cdot \pi^{\frac{n+1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}\frac{\Gamma(\frac{n}{2}+2)}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} $$

   Tenga en cuenta que el $\Gamma()$ se simplifica si consideramos los casos impar y Par por separado. Después de la manipulación, encontramos:

$$\lambda_{n+1} = \begin{cases}\frac{1}{2^{n+1}} {n \choose n/2} & n\text{ even}\\ \frac{1}{\pi}\frac{2^n}{n+1} {n \choose {\lfloor n/2\rfloor} }^{-1} & n\text{ odd} \end{cases}$$ Y así $$\lambda_n = \frac{1}{2},\; \frac{1}{\pi},\; \frac{1}{4},\; \frac{2}{3\pi},\; \frac{3}{16},\; \frac{8}{15\pi},\; \ldots .$$