Promedio de variables iid: ¿Igual oportunidad de ser derecha e izquierda de la media?

Question

Deje $\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$ ser yo.yo.d. variables aleatorias. Definir $$ L_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \quad \forall n \in \{1, 2, 3, …\} $$ Usando el teorema del límite central, se puede demostrar que si $E[X_i]=0$ e $0<Var(X_i)<\infty$ luego: $$ \lim_{n\rightarrow\infty} P[L_n\leq x] = \left\{ \begin{array}{ll} 1 &\mbox{ if %#%#%} \\ c & \mbox{ if %#%#%}\\ 0 & \mbox{ if %#%#%} \end{array} \right.$$ donde $x > 0$. Si la varianza es infinito, la ley de los grandes números implica una estructura similar a la de los casos $x=0$ e $x<0$, pero en el caso de $c=1/2$ es claro para mí.

Preguntas: Para el infinito de la varianza, se puede obtener un comportamiento diferente para el caso de $x>0$, como $x<0$? Podemos conseguir paso relacionado con la función de la estructura cuando la media no existe, pero con un comportamiento diferente para el caso de $x=0$?

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Notas:

• Podemos conseguir una limitación de la función de con $x=0$ de las secuencias aleatorias con diferente estructura, tales como $c=1/3$ con $x=0$.

• Se me ocurrió esta pregunta, mientras que reflexionar sobre la pregunta aquí: ¿por Qué un C. D. F necesitan estar en lo correcto-continua?

Answer 1

Sí es posible para $c$ tomar cualquier valor estrictamente entre $0$ e $1$. El punto es que existe una media de cero estable distribuciones que no son simétricas respecto a $0$ (por supuesto, una distribución estable no puede ser de Gauss, y por lo que debe tener infinita de la varianza). Usted puede mirar en la página de la Wikipedia para ver cómo algunas de estas distribuciones estables mirada.

Específicamente, si $\alpha \in (1,2)$ e $\beta \in [-1,1]$, luego resulta que existe una variable aleatoria $X$ cuya función característica se verá como $$\phi_X(t) = e^{-|t|^{\alpha}\big(1-i\beta \tan(\frac{\pi\alpha}{2})\text{sign}(t)\big).}$$ As it turns out, this distribution will have mean zero, and moreover (by varying $\alpha$ and $\beta$), $P(X<0)$ can be any predefined number $c\in(0,1)$. Furthermore, for iid copies one may check directly from the characteristic function that $n^{-1/\alpha}(X_1+...+X_n)$ has the same distribution as $X_1$. From this we can easily conclude that $$P(L_n<0) =P(n^{1-1/\alpha}L_n<0)= P(X<0)=c \in (0,1),$$ for all $n$, as desired. I do not know if $c=0$ or $c=1$ is a possible limit for nonzero random variables $X_i$aunque sería interesante averiguarlo.

Answer 2

Respuesta parcial: si los $X_i$ 's no son negativos con una media infinita que $L_n \to \infty$ como $P(L_n \leq x) \to 0$ por cada $x$ .