Haciendo un cálculo con respecto a la electrodébil transición de fase en el universo temprano, me encontré con la siguiente integral: $$I=\int_0 ^ {\infty} x^2 \text{ln}(1-\text{exp}(-\sqrt{x^2+u^2}))\text{d}x. $$
Estoy interesado en el comportamiento de esta paramétrico integral cerca de $u=0$. Específicamente, mi referencia me pide que muestran que
$$I = -\frac{\pi^4}{45} + \frac{\pi^2}{12}u^2 - \frac{\pi}{6}u^3 - \frac{1}{32}\bigg(\text{ln}(u^2)-(\frac{3}{2}+2 \text{ln}(4\pi)-2\gamma)\bigg) u^4+\mathcal{O}(u^6) $$
Esta expresión es bastante misterioso para mí. Estoy bastante seguro de que puede obtener los dos primeros términos poniendo $u=0$ y diferenciando con respecto a $u^2$, respectivamente, y el uso de algunos valores de $\zeta(n)$. El cúbicos plazo y el logaritmo parecen estar más allá de mis capacidades.
Cualquier ayuda es muy apreciada.
