¿Cómo puede definirse bien la derivada de$f:M\to \mathbb R$ donde$M$ es una variedad diferenciable ya que no es única?

Question

Tengo una duda sobre el hecho de que un derivado de la $f:M\to \mathbb R$ de $\mathcal C^1$ colector está bien definido... de Hecho, vamos a $a\in M$ e $(U,\varphi )$ un gráfico a partir de una $\mathbb C^1$ atlas s.t. $a\in A$. A continuación, $$f'(a)=\left.\frac{d}{dx}\right|_{x=\varphi (a)}f(\varphi ^{-1}(x)).$$

Pero si $(\psi,V)$ es un gráfico s.t. $a\in V$, a continuación, $$f'(a)=\left.\frac{d}{dx}\right|_{x=\psi(a)}f(\psi^{-1}(x)).$$

La cosa es que no veo ninguna razón para tener $$\left.\frac{d}{dx}\right|_{x=\varphi (a)}f(\varphi ^{-1}(x))=\left.\frac{d}{dx}\right|_{x=\psi(a)}f(\psi^{-1}(x)).$$

Answer 1

Mientras que el derivado de la $f$ en un sistema de coordenadas es mapa-dependiente, hay una manera de definir sin el uso de cualquier mapa o coordenadas.

En dicha definición, la derivada de una función $f: M\rightarrow \mathbb R$ a punto de $p\in M$ es un covector $(df)_p \in {T_p}^*M$ tal que para cualquier curva de $\gamma : \mathbb R \rightarrow M$, de tal manera que $\gamma(0) = p$ el siguiente se tiene: $$ \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}f(\gamma(t)) = \langle (df)_p, \gamma'(0) \rangle $$ donde $\gamma'(0) \in T_pM$ es el vector tangente a la curva de $\gamma$ a punto de $p$.

Usted puede comprobar que esto define $(df)_p$ en una manera única, y si se elige un sistema de coordenadas, entonces los coeficientes de $(df)_p$ en la inducida por la base en ${T_p}^*M$ son iguales a las derivadas parciales de $f$ respecto a coordenadas elegido.

Answer 2

Usando la notación $f'(a)$ aquí no es una buena idea, ya que las derivadas parciales hacer dependen del sistema de coordenadas elegido.

Tomemos, por ejemplo, $\mathbb{R}^2\setminus(-\infty,0]$ como su colector y considere la función $f$ que se asigna un punto a su cuadrado de la distancia al origen. En coordenadas Cartesianas, esta función está dada por $$ f(x,y) = x^2+y^2, $$ mientras que en coordenadas polares, $$ f(r,\theta) = r^2. $$ A continuación, diferenciando con respecto a la primera coordenada da $$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x, \quad\text{while}\quad \frac{\partial f}{\partial r}(r,\theta) = 2r, $$ pero estos dos no son iguales por ejemplo, en el punto de $(0,1)$. Tenga en cuenta que esto no significa que las derivadas parciales en un colector no están bien definidos, pero sólo de los que dependen la elegida marco de referencia (es decir, el elegido de sistema de coordenadas, o local gráfico si lo desea).

Para ver cómo se relacionan, tenga en cuenta que por la regla de la cadena, \begin{align} \frac{\partial}{\partial x_j}\bigg|_{x = \phi(a)}(f\circ \phi^{-1})(x) &= \frac{\partial }{\partial x_j}\bigg|_{x = \phi(a)}(f \circ \psi^{-1}\circ \psi\circ \phi^{-1})(x)\\ &= \sum_{k=1}^n\frac{\partial}{\partial y_k}\bigg|_{y = \psi(a)}(f \circ \psi^{-1})(y) \cdot \frac{\partial}{\partial x_j}\bigg|_{x = \phi(a)}(\psi \circ \phi^{-1})_k(x), \end{align} así que las derivadas parciales están relacionados por la "costumbre" Jacobiano del cambio de las variables de la matriz, es decir, $$ \a la izquierda.\begin{pmatrix} \partial_1 (\psi\circ \phi^{-1})_1 & \ldots & \partial_n (\psi\circ \phi^{-1})_1\\ \vdots & & \vdots \\ \partial_1 (\psi\circ \phi^{-1})_n & \ldots & \partial_n (\psi\circ \phi^{-1})_n \end{pmatrix}\right|_{\phi(a)}. $$