¿Es válido tomar el módulo en ambos lados de una ecuación?

Question

Esto puede parecer una copia de otra cuestión, pero lo que yo voy a proponer aquí es nuevo. Hay esta pregunta,

Encontrar la menos positiva de la integral del valor de n para el cual $(\frac{1+i}{1-i})^n = 1$

Mientras que la solución, si multiplicamos lo que está en el soporte, por el conjugado del denominador y se dividen por la misma cosa, obtenemos $i$ en el soporte, que significa, la cuestión se reduce a

$i ^ n= 1$

Sabemos que el menor valor positivo $n$ es $4$, $i^n$ a $1$. Hecho. Ahora, SI yo fuera a resolver tomando mod en ambos lados de la ecuación dada, Me gustaría conseguir

$\Big(\frac{|1+i|}{|1-i|}\Big)^n = |1|$

$\Big(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\Big)^n = 1$

$1^n = 1$

Tenga en cuenta que el menor valor positivo de la $n$ cambios de $4$ a $1$.

¿Por qué es así? He leído una respuesta en el intercambio de la pila, que es válido hacer nada con la ecuación hasta que se mantiene la igualdad. Yo no destruir la igualdad, entonces, ¿por qué la respuesta variar?

¿Hay alguna restricción en cuanto a donde el uso de la "toma-mod-de ambos lados" cosa?

Answer 1

El problema es, "tomar-mod-de ambos lados" es válido, pero sólo le da una forma de implicación. Si $z_{1} = z_{2}$ entonces $|z_{1}| = |z_{2}|$. Pero hay un montón de posibilidades para $z_{3}$,$z_{4}$ con $|z_{3}| = |z_{4}|$ e $z_{3} \neq z_{4}$, desde el módulo no es un uno-a-uno el mapa.

Cuando usted mira a ${\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}^{n}$, esto siempre ha módulo de $1$ para todos los valores de $n$. Pero esto sólo significa que se encuentra en el círculo unidad en el plano complejo, no significa que sea igual a 1.

Answer 2

Estoy seguro de que he aprendido que a la hora de resolver ecuaciones, si usted cuadrado ambos lados se puede introducir soluciones espurias. El punto es que $$A = B \implica A^2 = B^2 $$ pero lo contrario puede fallar. Es por eso que nos enseñan álgebra a los estudiantes a verificar sus respuestas en la ecuación original.

Tomando el módulo en ambos lados de la ecuación, se tiene el mismo efecto: $$A = B \implica que |A| = |B| $$ pero lo contrario puede fallar, por ejemplo, $|i|=|1|$ pero $i \ne 1$.

Cuando tomó el módulo en ambos lados de la ecuación, se introdujo soluciones espurias. Así que usted tiene que comprobar cada una de las soluciones para ver si satisface la ecuación original.