¿Forma simplificada para $\frac{\operatorname d^n}{\operatorname dx^n}\left(\frac{x}{e^x-1}\right)$?

Question

I have found the following formula: $$\frac{\operatorname d^n}{\operatorname dx^n}\left(\frac{x}{e^x-1}\right)=(-1)^n\,\frac{n\sum\limits_{k=0}^{n}e^{kx}\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{n+1}{i}(k-i)^{n-1}+x\sum\limits_{k=0}^{n}e^{kx}\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{n+1}{i}(k-i)^n}{\left(e^x-1\right)^{n+1}}. $$ Mi prueba de esta fórmula es complicado. ¿Alguien puede encontrar alguna prueba sencilla?

Answer 1

He aquí un punto de partida.

El uso de la general de la regla de Leibniz,

$$\frac{d^n}{dx^n}\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\frac{d^k}{dx^k}x\right)\left(\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}\frac{1}{e^x-1}\right).$$

Ahora, el "0-th" derivado de la $x$$x$, y el 1 derivado de la $x$$1$, y todos los 2º y derivadas de orden mayor se desvanecen. Entonces, el único no-cero de los términos en la suma de arriba son las k=0,1 términos, por lo que obtenemos:

$$\frac{d^n}{dx^n}\frac{x}{e^x-1} = \binom{n}{0}\left(\frac{d^0}{dx^0}x\right)\left(\frac{d^{n-0}}{dx^{n-0}}\frac{1}{e^x-1}\right)+\binom{n}{1}\left(\frac{d^1}{dx^1}x\right)\left(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{1}{e^x-1}\right)\\ = x\left(\frac{d^{n}}{dx^{n}}\frac{1}{e^x-1}\right) + n\left(\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\frac{1}{e^x-1}\right).$$

Al menos esto se debe obviar la necesidad de productos complicados de sumatorias como la que tiene actualmente.

Answer 2

Espero que esto te ayudaría en cierta manera $$\frac{x}{e^x-1}=\frac{x}{\cos(ix)-i\sin (ix)-1}$ $ $$=\frac{x}{-(1-\cos (ix))-\sin (ix)}$ $ $$=\frac{x}{-2\sin^2(\frac{ix}{2})-\sin (ix)}$ $ $$=\frac{x}{-2\sin (\frac{ix}{2})(\sin (\frac{ix}{2})+\cos (\frac{ix}{2}))}$ $ $$=\frac{x}{-2\sin (\frac{ix}{2})e^{\frac{-x}{2}}}$ $ $$=\frac{xe^{\frac{x}{2}}}{i\sinh (\frac{x}{2})}$ $

Answer 3

Los problemas relacionados con: (I), (II). Aquí es una fórmula

$$ \sum _{k=0}^{n} \sum _{m=0}^{n-k} ( -1 )^{m} m! {n\choose k} {n-k \brace m}(2-k)_k\,\frac{{x}^{1-k}\,{\rm e}^{mx}}{ \left( {{\rm e}^{x}}-1 \right)^{m+1}}, $$

donde $(a)_b$ es el Pocchammer símbolo y $ {n \brace k} $ es el números de Stirling del segundo tipo.