Estructuras algebraicas sobre clases propias.

Question

De vez en cuando, veo correcto clases de ser dotado de una estructura algebraica. Los ordinales con la adición es un ejemplo, pero he visto mucho más, la mayoría de los cuales han sido por encima de mi cabeza. Las definiciones estándar de estándar de estructuras algebraicas imponer el requisito de que la clase sea un conjunto, aunque. No estoy exactamente seguro de que sé por qué es. Qué tipo de problemas se hace la eliminación de este requisito de la causa? Cuánto de álgebra sobre los conjuntos lleva sobre el álgebra de las clases?

Yo estoy pidiendo esto porque yo no sé nada acerca de la manera adecuada clases distintas de lo que el primer curso introductorio de fundaciones me dijo, además de algunos otros bits. Esto hace que me inquieta cada vez que veo o escucho a alguien a hacer algo con la debida clases. Estoy a menudo a la izquierda convencidos sobre el rigor de estas consideraciones, y a causa de este malestar.

Answer 1

Conjunto de teorías que explícitamente abrazo adecuada clases como parte de la primer orden de teoría de hacerlo, permitiendo que las fórmulas para definir y mencionar las clases restringidas maneras. Siempre las relaciones algebraicas en una clase adecuada, por ejemplo, un orden en el caso de los ordinales, observar estas restricciones, que no es la falta de rigor en la presentación.

En algunos puntos se hace atar nuestras manos, y así lo garantiza precaución en cómo definimos las operaciones. Por ejemplo, una operación que convierte el vacío de las colecciones de los números ordinales al menos ordinal en una colección no puede ser comprendido como una función utilizando Kuratowski pares ordenados, ya que esto implicaría adecuado de las clases de elementos de algo. Sin embargo, el mapeo de la relación puede ser expresada como una de primer orden de la fórmula, que es probable que todo lo que se necesita para hacer un riguroso argumento.