Evaluar

Question

Evaluar$$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^2}}\int \limits_x^{x + \frac{\ln x}{x}} e^{t^2} dt.$ $

Probablemente debería usar tal desigualdad:

PS

Lo que me da que el numerador va al infinito. Utilicé la regla de L'Hopital, pero sin ninguna conclusión. $$ \int \limits_x^{x + \frac{\ln x}{x}} e^{t^2} dt > \frac{e^{x^2} \ln x}{2x} \text { for } x \ge 1,$ $ y$$\frac{d}{dx}(\int \limits_x^{x + \frac{\ln x}{x}} e^{t^2} dt) = e^{x^2} (-1 + e^{\frac{\ln^2(x)}{x^2}} (1 + x^2) - e^{\frac{\ln^2(x)}{x^2}} \ln(x))$ $

Por favor ayuda.

Answer 1

Estás en el camino correcto. Al usar L'Hopital, debes considerar la relación de las dos derivadas: $$ \ frac {-1 + e ^ {\ frac {\ ln ^ 2 (x)} {x ^ 2}} (1 + x ^ 2 - \ ln (x))} {2 x} = \ frac {-1 + (1+ \ frac {\ ln ^ 2 (x)} {x ^ 2} + o (\ frac {\ ln ^ 2 (x )} {x ^ 2})) (1 + x ^ 2 - \ ln (x))} {2 x} \\ = \ frac {x ^ 2 + O (\ ln ^ 2 (x)))} { 2 x} = \ frac {x + O (\ ln ^ 2 (x) / x))} {2} \ a + \ infty $$ donde usamos el hecho de que como$x\to +\infty$,$\ln(x)/x\to 0$ y para $e^t=1+t+o(t)$.

Answer 2

Dejemos que$$I(x) =\int \limits_x^{x + \frac{\ln x}{x}} e^{t^2} dt \Rightarrow I(x) \geq \frac{\ln x}{x}e^{x^2} \stackrel{x\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\infty$ $ Entonces, tenemos con$\frac{I(x)}{e^{x^2}}$ un caso de L'Hospital de$\frac{\infty}{\infty}$ para$x\rightarrow\infty$:$$\frac{I(x)}{e^{x^2}} \sim \frac{e^{(x^2+2\ln x+ \frac{\ln^2x}{x^2})}(\frac{x^2-\ln x + 1}{x^2}) - e^{x^2}}{2xe^{x^2}}=\frac{e^{\frac{\ln^2x}{x^2}}(x^2-\ln x +1)}{2x}- \frac{1}{2x} = \frac{1}{2}e^{\frac{\ln^2x}{x^2}} \left(x - \frac{\ln x}{x} + 1 \right)- \frac{1}{2x}\stackrel{x\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\infty$ $