Teorema Fundamental del Cálculo de Variaciones. Deje $u \in L^1_{\text{loc}}(a,b)$y $$ \int_{a}^{b} u(x) \varphi(x) dx = 0 \quad \forall \varphi \in \mathcal{C}^{\infty}_{\text{c}}(a,b). $$ Entonces, tenemos $u|_{(a,b)} \equiv 0$ en casi todas partes.
Me voy a presentar la prueba de nuestro profesor hizo y la que yo he encontrado en las notas de la conferencia de el mismo curso de unos pocos años atrás. Me gustaría saber si ambos enfoques son correctos o en la primera no se porque pasa por alto algunos detalles o si la segunda prueba es sólo innecesariamente complicado.
Prueba 1: Deje $[c,d] \subset (a,b)$ un compacto intervalo de con $c < d$. Nuestro objetivo es mostrar $\int_{c}^{d} | u(x) | dx = 0$, que los rendimientos de la demanda desde $[c,d]$ fue elegido arbitrariamente. Definir $\omega := \text{sgn}(u) \cdot \chi_{[c,d]}$. Además, definen $\omega_{\varepsilon} := \omega \star J_{\varepsilon}$ ($\star$ = convolución), donde $$ J_{\varepsilon}(x) := \begin{cases} c_{\varepsilon}\exp\left(\frac{1}{x^2 - 1}\right), & | x | < 1, \\ 0, & \text{else.} \end{casos} $$ y $c_{\varepsilon}$ elegido es tal que $\int_{\mathbb{R}} J_{\varepsilon}(x) dx = 1$.
En un lema anterior hemos demostrado que
- por lo suficientemente pequeño $\varepsilon > 0$ tenemos $\omega_{\varepsilon} \in \mathcal{C}^{\infty}_{\text{c}}(a,b)$ y
- $\omega_{\varepsilon} \xrightarrow{\varepsilon \searrow 0} \omega$ en casi todas partes en $(a,b)$.
Ahora queremos hacer uso del teorema de Lebesgue para mostrar \begin{equation*} \int_{a}^{b} \omega_{\varepsilon}(x) u(x) = \int_{c}^{d} | u(x) | dx = 0. \end{ecuación*} Para encontrar un integrable majorant para $\omega_{\varepsilon}$ podemos observar que \begin{equation*} | \omega_{\varepsilon}(x) | = \left| \int_{\mathbb{R}} J_{\varepsilon}(x - \xi) \omega_{\varepsilon}(\xi) d\xi \right| \le \max_{\xi \in \mathbb{R}} | \omega_{\varepsilon}(\xi) | \cdot \int_{\mathbb{R}} J_{\varepsilon}(x - \xi) d \xi = 1 \cdot 1 = 1. \end{ecuación*} Por lo tanto, $| u(x) \omega_{\varepsilon}(x) | \le | u(x) |$.
Debido a $u \in L^1_{\text{loc}}(a,b)$ tenemos $u \in L^1(c,d)$ y por lo tanto, $| u |$ es integrable majorant para $u \omega_{\varepsilon}$. $\square$
Prueba 2 Deje $u \in L^1_{\text{loc}}(a,b)$ e $[c,d] \subset (a,b)$. Definir $\omega = \text{sgn}(u) \chi_{[c,d]}$. Luego tenemos a $\omega \in L^1_{\text{loc}}(a,b)$ e $\text{supp}(\omega) \subset [c,d]$.
!El $\tilde{J}_{\varepsilon}$ es el $J_{\varepsilon}$ desde arriba!
Ahora defina $\omega_{\varepsilon} := \tilde{J}_{\varepsilon} \ast \omega$. A continuación, $\omega_{\varepsilon} \to \omega$ en casi todas partes en $(a,b)$ e $\text{supp}(\omega_{\varepsilon}) \subset [c - \varepsilon, d + \varepsilon]$, por lo tanto $\omega_{\varepsilon} \in \mathcal{C}^{\infty}_{\text{c}}(a,b)$ si $\varepsilon$ es lo suficientemente pequeño.
Obtenemos \begin{align*} 0 = \int_{a}^{b} \underbrace{u(x) \omega_{\varepsilon}(x)}_{\xrightarrow{\textrm{a.e.}} u(x) \omega(x)} dx & = \int_{c - \varepsilon}^{d + \varepsilon} u(x) \omega_{\varepsilon}(x) dx \\ & = \int_{a}^{b} u(x) \chi_{[c - \varepsilon, d + \varepsilon]}(x) \omega_{\varepsilon}(x) dx. \end{align*} Como \begin{equation*} | \omega_{\varepsilon}(x) | \le \int \tilde{J}_{\varepsilon}(x - y) \underbrace{| \omega(y) |}_{\le 1} dy \le 1, \end{ecuación*} Para $\varepsilon_0 < \min(c - a, b - d)$ y todos los $\varepsilon < \varepsilon_0$ tenemos \begin{equation*} | u(x) \omega_{\varepsilon}(x) | \le | u(x) | \chi_{[c - \varepsilon_0, d + \varepsilon_0]}(x) \end{ecuación*} Esta función es integrable en a$(a,b)$. Por lo tanto, Lebesgues teorema de la muestra \begin{equation*} 0 = \int_{a}^{b} u(x) \omega(x) dx = \int_{c}^{d} | u(x) | dx, \end{ecuación*} por lo tanto $u \equiv 0$ en casi todas partes en $[c,d]$. Como $[c,d] \subset (a,b)$ se ha elegido arbitrariamente, esto da lugar a la reclamación. $\square$
