Puede alguien explicar el Yoneda Lema a aplicar un matemático?

Question

Tengo problemas en el seguimiento de la categoría de la teoría de la instrucción y la prueba de la Yoneda Lema. De hecho, he seguido una categoría de la teoría del curso de 4-5 conferencias (varios años) y sentí que entendía todo hasta que cubrió el Yoneda Lema, después de lo cual he perdido el interés.

Supongo que lo que estoy pidiendo son algunos ejemplos concretos de la Yoneda Lema en acción. Por ejemplo, ¿cómo se aplican a categorías específicas, como una categoría con un solo elemento, o la categoría de Grp o Conjunto? ¿Qué resultados se hace es generalizar? Hay una canónica de ruta para la comprensión de la declaración de la Lema?

Si usted necesita para asumir el conocimiento, entonces, asumir que tengo una bastante rigurosa educación en pura/matemáticas aplicadas en el nivel de licenciatura, pero no más.

Answer 1

A grandes rasgos, el Yoneda lema dice que uno puede recuperar un objeto de $X$ hasta isomorfismo de conocimiento de los hom-establece $\text{Hom}(X, Y)$ para todos los demás objetos $Y$. Equivalentemente, se puede recuperar un objeto de $X$ hasta isomorfismo de conocimiento de los hom-establece $\text{Hom}(Y, X)$.

Como he dicho antes en las matemáticas.SÍ, hay un meta-principio en la categoría de la teoría de que para entender algo para todas las categorías, usted debe primero entender para posets, considerado como categorías en que $a \le b$ si y sólo si hay una sola flecha $a \a b$, y de lo contrario no hay morfismos de $a$ a $b$. Para el posets, Yoneda del lema dice que un objeto está determinado hasta el isomorfismo por el conjunto de objetos a menos que o igual a (equivalentemente, el conjunto de objetos de mayor que o igual a). En otras palabras, no está determinado por un Dedekind corte! En otras palabras, Yoneda del lema de posets dice lo siguiente:

$a \le b$ si y sólo si para todos los objetos de $c$ tenemos $c \le \Rightarrow c \le b$.

Esta es una sorprendente idea útil en el análisis real. Más en general, se lleva a la idea de que Yoneda del lexema, entre otras cosas, incorpora una categoría en una "conclusión" de que la categoría: de hecho, el estándar contravariante de Yoneda incrustación incorpora una categoría en su libre cocompletion, la categoría de "libremente adyacentes colimits."

Tan lejos como ejemplos vaya, resulta que en muchas categorías uno puede restringir la atención a un par de objetos específicos de $Y$. Por ejemplo:

• En $\text{Set}$ uno completo se puede recuperar un objeto $S$ de $\text{Hom}(1, S)$.
• En $\text{Grp}$ uno completo se puede recuperar un objeto de $G$ de $\text{Hom}(\mathbb{Z}, G)$. Esto es debido a que un homomorphism de $\mathbb{Z}$ es determinado libremente por donde se envía $1$, y se puede recuperar la multiplicación ya que $\mathbb{Z}$ es, naturalmente, un cogroup objeto, que es equivalente a la afirmación de que $\text{Hom}(\mathbb{Z}, G)$, naturalmente, lleva a una estructura de grupo (que de $G$).
• En $\text{CRing}$ (la categoría de anillos conmutativos) uno puede recuperar completamente un objeto $R$ de $\text{Hom}(\mathbb{Z}[x], R)$. La historia es similar a la anterior; esto se explica en esta entrada del blog. Geométricamente esto significa que uno puede recuperarse completamente de una afín esquema de $\text{Spec } R$ de $\text{Hom}(\text{Spec } R, \mathbb{A}^1(\mathbb{Z}))$, el anillo de funciones.
• En $\text{Top}$ (la categoría de espacios topológicos), se puede recuperar completamente un objeto $X$ de $\text{Hom}(1, X)$ (los puntos de $X$) y $\text{Hom}(X, \mathbb{S})$, donde $\mathbb{S}$ es el espacio de Sierpinski. Este último, precisamente, le da el abierto de conjuntos de $X$, y junto con el conocimiento de la composición de mapa $\text{Hom}(1, X) \times \text{Hom}(X, \mathbb{S}) \a \text{Hom}(1, \mathbb{S})$ puede recuperar el conocimiento de que los puntos de sentarse en el interior que abra conjuntos.

Answer 2

Creo que hay dos cuestiones importantes.

A. ¿por Qué funciona?

Cuando se tiene un objeto $A$, entonces usted puede pensar de cualquier objeto $X$ como de una "perspectiva" de que el objeto $A$ es visto. A continuación, una de morfismos $X \rightarrow$ corresponde a un punto de vista particular de una determinada perspectiva de $X$. En este sentido, ordinaria conjuntos de tener una perspectiva global (un singleton o un "terminal") que describe todos los aspectos de un conjunto particular --- es decir, los morfismos $1 \rightarrow$ corresponden a los elementos de $A$, y los conjuntos de tener los mismos elementos son "el mismo". Por el contrario, en una categoría como $\mathbf{Grp}$, la perspectiva global dice absolutamente nada acerca de los objetos.

Yoneda lema obras, debido a que (en general) a ver los objetos desde todas las perspectivas darle todo (importante, que es externo) información acerca de los objetos. Que es: $$\mathit{hom}(-, A) \approx \mathit{hom} (a, B) \Rightarrow \aprox B$$

B. ¿Qué significa?

Casi todo, pero me gusta, y creo que es el más importante, el siguiente. Usted puede pensar de un functor $F \colon \mathbb{C}^{op} \rightarrow \mathbf{Set}$ como de una especie de una generalizada de álgebra sobre la firma de $\mathbb{C}$ --- objetos de $\mathbb{C}$, corresponden a "tipo", mientras que morfismos a las "operaciones"; luego functor de $F$, nos da una interpretación para cada "tipo" (un conjunto), y para cada una de morfismos (una función entre conjuntos); es fácil ver que, a continuación, natural de transformaciones entre tales functors son generalizaciones de álgebra homomorphisms en el sentido usual de la palabra.

Yoneda lema dice que cada categoría puede ser pensado como una subcategoría de la generalizada álgebras de más generalizada de las firmas. En particular, las categorías están dadas como meramente generalizado de los gráficos de la satisfacción de algunas de las ecuaciones; gracias a Yoneda lema, podemos pensar en estos abstracto nodos (objetos) como de "estructuras reales" (álgebras), y de los bordes (morfismos), como de "real", las funciones que la preservación de las estructuras.

Dicho de otra manera. El estándar de matemáticas comienza a partir de los "elementos" formado en las estructuras. Esta es la "vista interna". A continuación, definimos "asignaciones" que preservar las estructuras, y son (en su mayoría) dispuestos a olvidar acerca de elementos específicos --- lo que es importante es la forma de estas estructuras mirar desde la perspectiva de "asignaciones" (por ejemplo, no queremos distinguir isomorfo estructuras, a pesar del hecho de que sus "elementos", que puede ser muy diferente). Este es el "punto de vista externo".

Por lo que el estándar de matemáticas comienza a partir de la "vista interna" y, a continuación, cambia a la "visión externa", mientras que la categoría de la teoría comienza a partir de la "visión externa" --- y debido a Yoneda lexema --- sabemos que la "vista interna" existe así.

También se puede decir que la diferencia entre el estándar de las matemáticas y la categoría de la teoría es como la diferencia entre la física Aristotélica y la Galileana de la física. Tomemos, por ejemplo, el concepto de velocidad. En la física Aristotélica podemos decir que un objeto se mueve a una cierta velocidad (el concepto de velocidad es una propiedad interna de un objeto). Por el contrario, dicha declaración no tiene ningún sentido en la física de Galileo --- en la tarde sólo podemos decir que un objeto se mueve a una cierta velocidad con respecto a otro objeto (el concepto de velocidad es un aspecto externo de algunos objetos, no es una propiedad de un único objeto). Sin embargo, en la física de Galileo, podemos "internalizar" el concepto de velocidad diciendo: ¿cuáles son las velocidades de un objeto con respecto a todos los objetos posibles (por ejemplo, una colección de velocidades indexados por los objetos sería de su propiedad interna).

Answer 3

Puedo ver la Yoneda lema como una generalización de Cayleys teorema. http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27s_theorem . Esta interpretación es útil si usted está de alguna manera cómoda con los grupos.

Supongamos que tenemos un grupo $G$, por ejemplo, $\mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}$. A continuación, podemos estudiar cómo los elementos de este grupo actúan sobre el mismo, a través de la izquierda de la multiplicación. Por ejemplo, multiplicando todos los elementos en el ejemplo del grupo por el elemento $\overline{2}$ es el siguiente para los elementos

$\overline{0}\mapsto \overline{2}$

$\overline{1}\mapsto \overline{0}$

$\overline{2}\mapsto \overline{1}$

Tenga en cuenta que este mapa es una permutación de los elementos del grupo (es decir, se adjunta una permutación de los elementos de los grupos a los elementos de $\overline{2}$). Lo que construimos aquí es un homomorphism $G\rightarrow S_{G}$. El grupo en el lado derecho es el conjunto de todas las permutaciones de los elementos de $G$. Este mapa es inyectiva. El primer teorema de isomorfismo ahora muestra que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$. Por lo tanto, todos los grupos son subgrupos de grupos simétricos. Este es del teorema de Cayley.

El Yoneda lema muestra que esto también funciona para las categorías. Cualquier subcategoría puede ser visto como una subcategoría de presheaves. Presheaves jugar el papel de permutaciones.

Answer 4

Voy a explicar cómo me siento intuitivamente el pensamiento de Yoneda del lexema. Se dice que un objeto de $X$ es completamente determinado $\operatorname{hom}(-,X)$. Usted puede pensar en esto como una gran generalización del hecho de que un conjunto está determinado completamente por sus elementos.:

En la categoría de Conjuntos, los datos de $\operatorname{hom}(-,X)$ incluye los datos de $\operatorname{hom}(pt,X)$ es decir, los elementos de $X$, así uno puede reconstruir $X$. Ahora digamos que usted está en la categoría de espacios topológicos. Claramente el conocimiento de la $\operatorname{hom}(pt,X)$ no se recupera de $X$, sólo se recupera el conjunto subyacente de $X$, pero no de la topología. Con el fin de recuperar la topología, se necesita saber cómo los puntos de $X$ se peguen. El conocimiento acerca de cómo los puntos de un espacio palo juntos puede ser obtenido a partir del conocimiento de proceso de parametrización del espacio. Y $\operatorname{hom}(-,X)$, precisamente, codifica "todas las formas de cómo parametrizar $X$", ya que uno puede pensar en cualquier mapa de espacios topológicos como una generalización de parametrización.

La misma intuición se aplica en categorías arbitrarias, creo que de $\operatorname{hom} (-,X)$ como los datos de todos los parametrización de los elementos de $X$.