¿El grupo de automorfismo de las preguntas libres?

Question

Las siguientes definiciones son cotizados de este artículo:

Mi pregunta es, ¿sabemos algo de descripción de la automorphism grupo de quandles con relativa menor número de generar el sistema $S$? Por ejemplo, para cada una de las $2\leq |S|\leq 4$, $\mathrm{Aut}(FQ(S))$ isomorfo a cualquier grupo familiar?

Answer 1

Sí, es un conocido grupo, conocido como grupo de los simétrica automorfismos de la libre grupo.

La libre quandle $\mathrm{FQ}_S$ puede ser comprendido como el conjunto de los conjugados de los generadores en el grupo libre $\mathrm{F}_S$, con la ley de $a\lhd b=aba^{-1}$, $b\rhd a=a^{-1}ba$. En particular, la acción por la conjugación de la $F_S$ induce una acción por quandle automorfismos, que para $|S|\ge 2$ es fiel y se extiende a un fiel acción de $\mathrm{F}_S\rtimes\mathfrak{S}(S)$, el último permuting generadores.

Para $|S|=2$ no la puedo ver ahora si esta es la automorphism grupo. Para $|S|\ge 3$ es no: de hecho, dejando $a,b$ ser el primero de los dos generadores libres, podemos hacer un mapa de $a$ a $a\lhd b$, y corregir todos los otros generadores, y esto no es inducida por la conjugación.

Cada quandle $Q$ tiene un universal que envuelve grupo. Este es un objeto inicial en la categoría de quandle homomorphisms $Q\to G$ en grupos, $G$ ser un quandle bajo $g\lhd h=ghg^{-1}$.

Para la libre quandle $\mathrm{FQ}_S$ el universal que envuelve grupo es el grupo libre $\mathrm{F}_S$. Esto es obvio: lo que es menos obvio, pero lo importante es que el $\mathrm{FQ}_S\to\mathrm{F}_S$ es inyectiva. De ahí se deduce una canónica homomorphism $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Qua}}(\mathrm{FQ}_S)\to\mathrm{Aut}_{\mathrm{Grp}}(F_S)$, que por lo tanto es inyectiva. Por lo tanto, $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Qua}}(\mathrm{FQ}_S)$ es el conjunto de automorfismos del grupo $F_S$ preservar $\mathrm{FQ}_S$, es decir, preservar el subconjunto definido como la unión de las clases conjugacy de generadores libres.

Este grupo es conocido como simétrica automorphism grupo de la libre grupo de $F_S$. Se divide como el semidirect producto $P\Sigma_S\rtimes\mathfrak{S}(S)$, donde $\mathfrak{S}$ permutes generadores, y $P\Sigma_S$ es el grupo de grupo de automorfismos de a$F_S$ la asignación de cada generador a un conjugado. El último ha sido ampliamente estudiado por $S$ finito. Para $|S|$ finito es finitely presentado (McCool [1]). Tiene el nombre de los grupos de base-la conjugación de los automorfismos, o grupo, o grupo de puro simétrica automorfismos.

Para $n=2$ $P\Sigma_2$ se reduce al interior de automorfismos de a$F_2$, pero $P\Sigma_S$ es mayor de $|S|\ge 3$: dejar a $a,b$ ser el primero de los dos generadores libres, podemos hacer un mapa de $a$ a $a\lhd b$, y corregir todos los otros generadores, y esto no es inducida por una conjugación.

[1] McCool, J. Sobre la base de la conjugación de los automorfismos de libre grupos. Canadá. J. Math. 38 (1986), no. 6, 1525-1529.