Si $T$ está localmente conectada por un camino y su mapa de cobertura $p:Y\to X$ es regular, entonces la respuesta es sí. En este caso $T\times_X Y$ está localmente conectada por un camino y, por tanto, la restricción del mapa de cobertura del pullback $q:T\times_XY\to T$ a cada componente del camino (abierto) es un mapa de cobertura.
Llame a $f:T\to X$ su mapa. Desde $T$ es un camino conectado, cada componente del camino de $T\times_XY$ cumple con cada fibra de $q$ . Por lo tanto, para utilizar la clasificación de los mapas de cobertura, podemos considerar los componentes del camino $P_1$ y $P_2$ de $T\times_XY$ y puntos $(t,y)\in P_1$ y $(t,y')\in P_2$ (aviso $p(y)=f(t)=p(y')$ ). Utilizando la propiedad universal del pullback se puede demostrar que $q_{\#}(\pi_1(P_1,(t,y))=f_{\#}^{-1}(p_{\#}(\pi_1(Y,y)))$ y $q_{\#}(\pi_1(P_2,(t,y'))=f_{\#}^{-1}(p_{\#}(\pi_1(Y,y')))$ . Desde $p$ es regular, $p_{\#}(\pi_1(Y,y))=p_{\#}(\pi_1(Y,y'))$ y así $q_{\#}(\pi_1(P_1,(t,y))=q_{\#}(\pi_1(P_2,(t,y'))$ . La clasificación de los mapas de cobertura le dice entonces que $q:P_1\to T$ y $q:P_2\to T$ son equivalentes, y en particular, que $P_1$ y $P_2$ son homeomórficos. Si conocieras los pullbacks de los subgrupos conjugados en $\pi_1(X,f(t))$ por $f_{\#}$ todavía estaban conjugados en $\pi_1(T,t)$ Por ejemplo, si $f_{\#}$ es en, entonces usted podría hacer la misma conclusión.
De momento no tengo un contraejemplo para las cubiertas no regulares, pero dudo que ocurra lo mismo en general. Los subgrupos $H=p_{\#}(\pi_1(Y,y))$ y $H'=p_{\#}(\pi_1(Y,y'))$ será siempre conjugada. Pero si $f_{\#}^{-1}(H)$ y $f_{\#}^{-1}(H')$ no son conjugados en $\pi_1(T,t)$ entonces se clasificarán por coberturas diferentes (probablemente no homeomórficas). Para crear uno debería bastar con buscar un homomorfismo de grupo $f_{\#}:G\to K$ que toma dos subgrupos no conjugados en $G$ a dos subgrupos conjugados no iguales en $K$ .
