Aclaración del álgebra en el momento en que genera funciones.

Question

Supongamos $X$ tiene un rango de $\{1,2,\dots n \}$ e $p_X(j)=1/n$ para $1\leq j \leq n$ (distribución uniforme). A continuación, \begin{align*} g(t)&=\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{n}e^{tj}\\ &=\frac{1}{n}(e^t+e^{2t}+\cdots+e^{nt})\\ &=\frac{e^t(e^{nt}-1)}{n(e^t-1)} \end{align*}

No entiendo cómo el álgebra va desde el paso 2 hasta el paso 3 aquí. Entiendo que la factorización de un $e^t$, pero ¿cómo el denominador. Es esta división de polinomios?

Answer 1

Están aplicando la fórmula de una serie geométrica finita,

$$ \sum_{k=0}^n x^k = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}.$$

Esta fórmula se puede derivar de varias maneras, incluyendo algunos que implican la división de polinomios.

Aquí es una aproximación :

Vamos,

$$ S_n(x) = \sum_{k=0}^n x^k ,$$

y tenga en cuenta que,

$$ x S_n(x) = \sum_{k=0}^n x^{k+1} ,$$

$$ x S_n(x) = \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} ,$$

$$ x S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} x^{k} + x^{n+1} ,$$

$$ 1+ x S_n(x) = 1+\sum_{k=1}^{n} x^{k} + x^{n+1} ,$$

$$ 1+ x S_n(x) = \sum_{k=0}^{n} x^{k} + x^{n+1} ,$$

$$ 1+ x S_n(x) = S_n(x) + x^{n+1} ,$$

$$ x S_n(x) = S_n(x) + x^{n+1}-1 ,$$

$$ x S_n(x) - S_n(x) = x^{n+1}-1 ,$$

$$ (x-1) S_n(x) = x^{n+1}-1 ,$$

$$ S_n(x) = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} ,$$

Answer 2

Es una serie geométrica: $1 + (e^t) + (e^t)^2+...+(e^t)^{n-1}$ con la suma dada como parte de su expresión.