Calcule el producto de los ciclos que son permutaciones de$S_8$

Question

Aquí es el producto de los ciclos. Mi libro de texto va a la derecha a la izquierda de la multiplicación. $$(1,4,5)(7,8)(2,5,7)$$

Una observación aquí es que no creo que estos ciclos son distintos y por lo tanto no son conmutativas. Hasta ahora sólo he hecho los cálculos con distintos ciclos, de modo que no estaba seguro de cómo manejar esto.

He calculado la permutación a ser después de escribir los ciclos en la tabla de notación. $$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 4 & 1 & 3 & 5 & 8 & 6 & 2 & 7 \end{pmatrix} $$

Sin embargo, si yo inversa el proceso y split $\sigma$ en ciclos, tengo $$(1,4,5,8,7,2)$$

Es porque no estoy multiplicando producto de ciclos disjuntos que no soy capaz de invertir la ecuación? Solo estoy haciendo esta completamente equivocado?

Answer 1

Tu respuesta es correcta!

Lo que parece estar molestándote es que aquí hay más de una forma de escribir una permutación como un producto de ciclos, pero esto es cierto. El hecho de que su permutación se pueda escribir como un ciclo $(145872)$ de ninguna manera implica que no se puede escribir como el producto de 3. (Es cierto que la descomposición del "ciclo disjunto" es única hasta mover los factores alrededor, pero la mayoría de las descomposiciones de ciclo no son únicas.)

Answer 2

Quizás debería ampliar mi comentario.

Ha $(145)(78)(257)$.

Podemos escribir esto en ciclos disjuntos a la vista.

Empezamos

$$ (1?? $$ Bien por la derecha ciclo de $1\mapsto 1$ y, en el medio del ciclo de $1\mapsto 1$ , en el ciclo izquierdo $1\mapsto 4$. Así tenemos $$ (14?? $$ A continuación, en la derecha ciclo de $4\mapsto 4$ y, en el medio del ciclo de $4\mapsto 4$ , en el ciclo izquierdo $4\mapsto 5$. Así tenemos $$ (145?? $$ A continuación, en la derecha ciclo de $5\mapsto 7$ y, en el medio del ciclo de $7\mapsto 8$ , en el ciclo izquierdo $8\mapsto 8$. Así tenemos $$ (1458??? $$ A continuación, en la derecha ciclo de $8\mapsto 8$ y, en el medio del ciclo de $8\mapsto 7$ , en el ciclo izquierdo $7\mapsto 7$. Así tenemos $$ (14587?? $$ A continuación, en la derecha ciclo de $7\mapsto 2$ y, en el medio del ciclo de $2\mapsto 2$ , en el ciclo izquierdo $2\mapsto 2$. Así tenemos $$ (145872?? $$ A continuación, en la derecha ciclo de $2\mapsto 5$ y, en el medio del ciclo de $5\mapsto 5$ , en el ciclo izquierdo $5\mapsto 1$. Así que estamos de vuelta a casa, y han $$ (145872) $$ ¿Hay alguna más? Sí, hay 3, por lo que tenemos $$ (145872)(3??? $$ Ninguno de los ciclos de movimientos de $3$ así que estamos de vuelta a casa y tener $$ (145872)(3) $$ Pero ¿hay alguna más? Sí, $6$. Así tenemos $$ (145872)(3)(6?? $$ Ninguno de los ciclos de movimientos de $6$ así que estamos de vuelta a casa y tener $$ (145872)(3)(6) $$ ¿Hay alguna más? No, por lo que hemos terminado, ¡Uf!

Nota no escribimos nada de esto abajo, simplemente llene el formulario de contestación uno por uno, como se explica.

Nota Para los inversos acabamos de escribir de los ciclos en orden inverso una vez que tenemos una permutación en discontinuo del ciclo de formulario.