Polinomio mínimo de extensión de grado 2 sobre un campo finito con la característica 2

Question

Yo estoy luchando para resolver la siguiente pregunta.

Deje $F$ ser un campo finito con carácter 2 y $L/F$ ser una extensión finita con $[L:F]=2$. Demostrar que no existe $\alpha\in L$ tal que $L = F(\alpha)$ y el polinomio mínimo de a$\alpha$ , $\text {Irr}_F \alpha(x) = x^2-x-a$ para algunos $a\in F$

Mi intento:

Deje $\alpha\in L\text \F$, a continuación, $F\subset F(\alpha) \subset L$ es una torre, así que tenemos $2 = [L:F] = [L:F(\alpha)][F(\alpha):F]$. Debido a $\alpha\notin F$, $[F(\alpha):F]=2$ e $[L:F(\alpha)]=1$.

Así, obtenemos $L=F(\alpha)$.

Deje $p_\alpha(x) = \text{Irr}_F\alpha(x)$.

Tenga en cuenta que deg $(p_\alpha(x)) = [F:F(\alpha)] = 2$ . Así, podemos asumir que $p_\alpha(x) = x^2+bx+a \in F[x]$aquí $a\in F, b\in F.$

Entonces, quiero mostrar que existe $\alpha \in L\text\F$ tal que $b=1$.

En primer lugar, estoy tratando de encontrar a $\alpha$ tales que b $\neq 0$:

Observar que si $\alpha^2\in F$, entonces el polinomio mínimo $p(x)$ se $x^2-\alpha^2$.

Así que quiero encontrar a $\alpha$ tal que $\alpha^2\notin F$, si $\alpha$ existe, $b\neq 0$.

Pero yo no tengo ningún ideal acerca de cómo probar la existencia de esta $\alpha$.

Y aquí viene otro problema: Si podemos encontrar a $\alpha\in L\text\\F$ satisface la condición anterior, ¿cómo podemos decir que $b=1$ ?

Así que me gustaría saber que mis pensamientos son correctos o no, y quieren resolver esta pregunta en la escuela primaria método (sin la Teoría de Galois).

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Usted no puede tener $b=0$.

Si $|K|=2^n$ entonces $a=a^{2^n}$ por cada $a\in K$. Si $a=0$ esto es trivial. De lo contrario, $a$ pertenece al grupo de $(K^*,\cdot )$ orden $2^n-1$ así, del teorema de Lagrange, $a^{2^n-1}=1$. Multiplicamos esta relación por $a$ y obtenemos $a^{2^n}=a$.

Supongamos ahora que $b=0$ lo $p_\alpha (x)=x^2+a$. Desde $a=a^{2^n}=(a^{2^{n-1}})^2$ y estamos en el carácter $2$, obtenemos $p_\alpha (x)=x^2+(a^{2^{n-1}})^2=(x+a^{2^{n-1}})^2$. Pero esto es imposible, ya $p_\alpha$ es irreductible.

Por lo tanto $b\neq 0$. Cuando dividimos la relación $\alpha^2+b\alpha +a=0$ por $b^2$ obtenemos $(\alpha/b)^2+\alpha/b+a/b^2=0$ lo $p_{\alpha/b}(x)=x^2+x+a/b^2=x^2-x-a/b^2$, que es lo que quieres.

Por CIERTO que tienen un carácter más general resultado. Si $F$ es finito de característica $p$ e $[L:F]=p$ entonces $L=F(\alpha )$ para algunos $\alpha$ cuyo polinomio mínimo de más de $F$ es de la forma $x^p-x-a$ para algunos $a\in F$. Pero para esto necesitas algo de la teoría de Galois en característica positiva. Buscar Artin-Schreier extensiones.

Answer 2

Considerar los polinomios $p_a(x)=x^2-x-a$ para $a\in F$.

Observe que para $a\neq b$, ambas en $F$, las raíces de $p_a$ e $p_b$ son disjuntas. Esto es debido a una raíz común, $r$ implica $r^2-r-a=0=r^2-r-b$, de donde $a=b$ sigue.

También, para un determinado $a\in F$, las dos raíces, $r_1$ e $r_2$, $p_a$ satisfacer $r_1+r_2=1$. Si no iguales, a continuación, $0=2r_1=1$.

Si $p_a$ era reducible para todos los $a\in F$, entonces el número total de las raíces de estos polinomios quisiera $2|F|$ diferentes elementos de $F$.

Por lo tanto, al menos uno de los polinomios $p_a$ es irreducible sobre $F$.

A continuación, $F[x]/(p_a)$ es un campo finito de característica $2$ con la misma cardinalidad como $L$.