Dibujando todos los acordes entre seis puntos en un círculo, pruebe que solo se forma un triángulo en el interior del círculo.

Question

Motivar problema: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2010_AMC_10A_Problems/Problem_22

Si dibujamos un triángulo en el interior de un círculo, es sencillo demostrar que el triángulo puede ser construido por la intersección de los acordes dibuja entre el 6 puntos en el círculo. Esto se puede hacer mediante la extensión de cada lado del triángulo hasta la intersección con el círculo.

Yo soy incapaz de probar que si empezamos con seis puntos en el círculo, y sacar los acordes de entre todos los puntos, que sólo un triángulo, formado en el círculo interior. He enumerado algunas preguntas relacionadas a continuación, pero no creo que estas preguntas son bastante lo que estoy buscando.

Preguntas relacionadas con:

• ¿Cuántos triángulos se forman por $n$ acordes de un círculo?
• Número de triángulos formados por todos los acordes entre $n$ puntos en un círculo
• Acordes en un Círculo

Answer 1

Para conseguir un interior de un triángulo, se necesitan tres acordes que se forman los lados del triángulo. Dos de esas cuerdas se cortan para formar un vértice del interior del triángulo. Obviamente se cruzan dos acordes de no compartir un extremo, de modo que los seis puntos en el círculo debe ser cada uno el extremo de uno de los tres acordes que forman el triángulo.

Si los 6 puntos en el círculo son etiquetadas de la a a la F en orden, entonces usted debe conectar la a a la D, B, E, C a F para obtener los acordes que se forman los lados del triángulo. Cualquier otra opción no funciona porque cada cuerda debe intersectar los otros dos (los dos vértices de ese lado del triángulo) y por lo tanto tiene dos extremos en ambos lados. Este emparejamiento AD, BE, CF es único, por lo que hay un interior único triángulo.

Answer 2

De hecho, no es sólo uno de los interiores del triángulo. Aquí está la malla completa:

Mira el punto de $A$. Podemos crear un interior triángulo si conectamos $A$ con su vecino más cercano (WLOG, podemos asumir que es el punto B, ver foto). La respuesta es no! Porque no hay ninguna otra cuerda de intersección de acordes $AB$ usted no puede crear un punto interior del triángulo. Así que usted puede eliminar segmentos de $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EF$, $FA$.

Si no podemos crear un interior triángulo con acordes $AB$, tal vez podemos hacer que si conectamos $A$ con $C$ o $E$. Estos dos casos son equivalentes - básicamente, usted toma el punto de $A$, saltar el primer vecino de la derecha o la izquierda y seleccione el vecino. WLOG podemos suponer que es el punto de $C$. Observe que el punto de $B$ y puntos de $D,E,F$ están en lados diferentes de acordes $AC$. Así que es garantizada que acorde $AC$ y acordes $BD$, $BE$, $BF$ se cortan en puntos de $G,K,L$. Estos tres puntos son candidatos para trinagle puntos del interior.

Sin embargo, Si usted escoge $AC$ e $BD$, el resto de puntos de $E,F$ son vecinos y la tercera del acorde $EF$ no se cruza con ninguna de ellas. Si usted escoge $AC$ e $BF$, puntos de $D,E$ son vecinos y la tercera del acorde $DE$ no se intersectan. En el último caso de tener los acordes $AC$ e $BE$. La tercera cuerda es $DF$. Pero los puntos de $D,F$ están en el mismo lado de acordes $AC$ y, por tanto, acordes $AC$ e $DF$ no se cruzan y no se forma el punto interior del triángulo.

La última opción es conectar $A$ con el punto opuesto $D$. Hacer lo mismo para los puntos de $B$ e $E$. Acordes $AD$ e $BE$ sí se cruzan porque los puntos de $B,E$ están en lados diferentes si acorde $AD$. Que crea un punto interior del triángulo. De la misma manera se puede mostrar que está garantizado que $BE$ e $CF$ intersect (segundo punto interior del triángulo). El tercer punto interior es creado por la intersección de los acordes $AD$ e $CF$.

En este último caso también debe demostrar que usted no puede crear un interior triángulo mediante la selección de acordes $AD$ y cualquier otro acorde con el punto final de la $B$ excpet $BE$. Esto es obvio: $BA,BC,BD$ se descartó debido a que estos acordes no crear puntos del interior con acordes $AD$. Si usted elige $BF$, la tercera del acorde sería $CE$ y que los acordes no se cruzan con $BF$ y no llegar de un punto interior.

Así que solo tiene uno interior del triángulo formado. En ese triángulo es siempre formado por acordes $AD,BE,CF$. Si estos tres segmentos de acuerdo, el interior del triángulo desaparece.

Answer 3

Supongo que más expresión correcta es

"El dibujo de todos los acordes entre los seis puntos en un círculo, demuestran que, en la mayoría de un triángulo puede ser formado en el círculo interior."

Ahora por seis puntos en el círculo tenemos 15 acordes. Entre estos acordes no son acordes formados por puntos adyacentes en el círculo, de modo que no tienen puntos de intersección, por lo que descartamos estos acordes, hay 6 acordes como este.

Ahora bien, hay otro conjunto de acordes que se forman por dos puntos que tiene solo un punto entre ellos en un lado del círculo, como el AC, que sólo tiene B en un lado (teniendo en cuenta los puntos a,B,C,D,E,F en el círculo). Ahora tenemos tres diferentes puntos de intersección en este acorde (como el otro lado hay tres puntos distintos (D,E,F).

Considerando ahora la posibilidad de que cualquiera de los dos puntos de esta tres pueden formar lado del triángulo. Vemos que para cualquiera de los dos puntos de los acordes son divergentes desde el punto en común (es decir, B), como la supuesta triángulo debe estar en el otro lado de la B y los acordes son divergentes hacia el otro lado no se puede formar el triángulo por cualquiera de estos dos puntos. De nuevo hay 6 acordes como este, así que descartamos este 6 de acordes también.

Finalmente nos quedamos con sólo tres acordes. Ahora, con tres segmentos de línea en cualquier caso siempre podemos sólo de una forma un triángulo (en la mayoría). Cuando todos estos tres puntos de intersección caer en otra, no tendremos ningún triángulo.