Pregunta en Wiki prueba de matriz de Vandermonde

Question

En esta página, https://proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant#Proof_3entiendo lo que están creando la $n-1$ grado del polinomio $P(x)$ calculando el determinante basado en el final de la fila. Entiendo cómo se encuentra el $n-1$ ceros de $P(x)$, y entiendo cómo llegaron a ese $P(x) = C(x-x_1)\ldots(x-x_{n-1})$ pero no entiendo cómo se encuentra ese $C=V_{n-1}$. No es muy claro en ese paso.

Incluso si el coeficiente de la $x^{n-1}$ es $V_{n-1}$, ¿cómo estamos seguros de que el resto de coeficientes coincidan? Si lo anterior es cierto, eso no significa que $$\begin{vmatrix} x_1 & x_1^2 & \ldots & x_{1}^{n-1} \\ x_2 & x_2^2 & \ldots & x_{2}^{n-1} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \ddots & x_{n-1}^{n-1} \end{vmatrix}$$ es igual a $x_1x_2x_3\ldots x_{n-1}$ debido a que ambos son el término constante de $P(x)$? Si es así, estas identidades útil de alguna manera?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

$C$ es la principal coeficiente de $P$. Antes de la prueba, escribieron los coeficientes de $P$ como determinantes de la sub-matrices. En particular, el coeficiente de los principales monomio $x^{n-1}$ es el determinante de una menor de la matriz de Vandermonde que implican $x_1, \ldots, x_{n-1}$.

La respuesta a tu edit: debido a que se han encontrado todas las raíces de $P$, es necesariamente de la forma $C(x-x_1) \cdots (x-x_{n-1})$, por lo que sí todos los otros coeficientes deben coincidir. Tenga en cuenta que el determinante escrito al final de su post es necesariamente $V_{n-1} x_1 \cdots x_n$ (no $x_1 \cdots x_n$). Una forma de ver esto es dividir el $i$th fila por $x_i$ que le da $x_1 \cdots x_n$ veces el determinante de los más pequeños de la matriz de Vandermonde que es $V_{n-1}$.