¿Están los grupos completamente determinados por sus representaciones?

Question

Recientemente comencé a interesarme en la teoría de la representación, y me encontré con una natural filosófica (vagos) pregunta: son grupos totalmente determinada por sus representaciones?

Para ser más específicos, quiero saber las respuestas acerca de las siguientes preguntas:

(1) Para cualquier (discreta) de grupo $G$ y un campo de $k$, vamos a $\text{Rep}_{G,k}$ ser la categoría de representaciones de $G$ sobre $k$. Si $\text{Rep}_{G,k}$ e $\text{Rep}_{G',k}$ son equivalentes para todos los $k$, ¿ esto implica $G\simeq G'$? Cómo sobre finito dimensionales de la representación?

(2) ¿Qué pasa si '(discreto) grupo " cambiar a otros tipos de grupos (y de la representación también se cambia por alternativas adecuadas), tales como las continuas representaciones de grupos topológicos, suave o más representaciones de la Mentira grupos?

Dado que (1) y (2) son solo mis formulaciones de la pregunta original, por favor, hágamelo saber si existe otro mejor-formulado las preguntas específicas relacionadas con la pregunta original. También, si usted sabe teoremas relacionados (o conjeturas), aunque no exactamente se centran en (1) y (2), por favor dígame. Gracias de antemano.

Answer 1

Echa un vistazo a los Anales de papel "Un Contraejemplo para el Problema de Isomorfismo de Grupo Integral de los Anillos" por Martin Hertweck. Construye dos grupos finitos $G$, $H$ tal que la integral del grupo de los anillos de $\mathbb{Z}G$ e $\mathbb{Z}H$ son isomorfos como anillos. En particular, esto significa que $Rep_{G,R}$ e $Rep_{H,R}$ equivalente como categorías para cualquier anillo de la base $R$.

Por supuesto categorías de representaciones de grupos vienen equipados con una estructura adicional (es decir, un monoidal simétrica estructura), y estas equivalencias no conservar esas estructuras.