generalizaciones categóricas de objetos familiares

Question

Hace un par de días he aprendido que se puede definir la traza de una manera muy abstracta de configuración.

Es decir, supongamos $F\colon A\to B$ es un functor entre dos categorías. Supongamos $E,G\colon B\to A$ son dos functors, que están adjuntos a $F$, de tal manera que $E$ es de izquierda adjunto y $G$ es correcto adjunto. Supongamos, además, que $\nu\colon G\to E$ es una transformación natural. Luego de tener este tipo de datos $\forall x,y\in A$ puede definir la traza mapa $$Tr\colon Hom(F(x),F(y))\to Hom(x,y)$$ for any $f\en Hom(F(x),F(y))$ to be the composition $$x\to GF(x)\to EF(x)\to EF(y)\to y,$$ where the first map is given by the adjunction unit $id_A\a GF$, second map is given by $\nu$, the third map is given by $E(f)$ and the last map is given by the adjunction counit $EF\a id_A$.

Si tomamos $A=B=Vect_k$, $F=-\otimes V$ y $G=E=-\otimes V^*$ para un espacio vectorial de dimensión finita $V$$k$, y tome $x=y=k$, entonces esta construcción da el habitual seguimiento de un lineal mapa.

Desde la parte superior de mi cabeza me acordé de un par de ejemplos más.

Por ejemplo, si $C$ es una categoría, la de Bernstein centro de $C$ se define a ser $Z(C)=End(id_C)$ el (conmutativa monoid) de endomorfismo de la identidad functor. Si la categoría de $C$ es aditivo, a continuación, $Z(C)$ es un anillo conmutativo. Si tomamos $C$ a la categoría de los módulos a través de algunos de anillo de $R$, $Z(C)$ es isomorfo al centro de la $R$.

Otro, se puede hablar de abierto, cerrado subfunctors en la categoría de anillos conmutativos en $Sets$. Si su functors son representables, entonces se obtiene la definición habitual de abierto o cerrado subschemes.

Así que mi pregunta es: ¿cuáles son los otros niza ejemplos de tales categórica que las generalizaciones que usted ahora?

Answer 1

Un buen ejemplo es la noción de matriz. La mayoría de los generales de configuración (que yo sepa!) en que nos puede ser útil pensar acerca de las matrices está en una categoría con finito biproducts. Ejemplos comunes incluyen abelian categorías como categorías de módulos, sino que incluso hay más ejemplos de esto. Ver esta entrada del blog para ver algunos ejemplos y más detalles. Uno recupera el prototipo caso de finito-dimensional espacios vectoriales sobre un campo $k$ por la descomposición de cada espacio vectorial como un biproduct de copias de $k$.

Answer 2

Aquí están algunos ejemplos:

Kahler diferenciales

Todo lo que yo diga aquí puede encontrar en la nLab página en Kahler diferenciales. Observe que para un anillo conmutativo $A$, la categoría de $A$-módulos es equivalente a la categoría de $\operatorname{Ab}(\mathsf{cRing}/A)$ de abelian grupo de objetos en la categoría de anillos conmutativos $A$. Uno se asocia a un $A$-módulo de $E$ "cuadrados de extensión cero" $A\oplus E$ con la multiplicación $(a,x)(b,y)=(ab,a y+b x)$. Hay una natural olvidadizo functor $\operatorname{Ab}(\mathsf{cRing}/A)\to \mathsf{cRing}/A$, y la formación de Kahler diferenciales de las formas de izquierda adjunto a la presente. Es decir, $$ \hom_{\mathsf{cRing}/Un}(B,a\oplus E) = \operatorname{Der}_A(B,E) = \hom_{Un\text{-}\mathsf{mod}}(\Omega_{B/A}^1,E) = \hom_{\operatorname{Ab}(\mathsf{cRing}/Un)} (\oplus \Omega_{B/A}^1,\oplus E) $$

Esto se puede generalizar a cualquier categoría. Siguiente nLab, reemplazamos $\mathsf{cRing}$$\mathsf{AffSch}$, y definir, para cualquier categoría de $\mathsf{C}$, la de la tangente a la categoría de $\mathsf{C}$ a la categoría de pares $(x,A)$ donde $x$ es un objeto de $\mathsf{C}$ $A$ es un grupo abelian objeto en $\operatorname{Ab}(\mathsf{C}^\circ/x)$. Aquí escribo $\mathsf{C}^\circ$ frente a los de la categoría de $\mathsf{C}$. Hay un olvidadizo functor de $T\mathsf{C}$ a de la "flecha de la categoría" $\mathsf{C}^\to=\operatorname{Nat}(\bullet\to\bullet,\mathsf{C})$ que envía a $(x,A)$ a la estructura de morfismos $x\to A$. Si escribimos $F:(T\mathsf{C})^\circ\to \mathsf{C}^\to$ para este functor, entonces podemos definir el $\Omega^1$ a la izquierda-adjoint (si es que existe) a $F$, es decir, $$ \hom_{x\barra invertida \mathsf{C}}(A,y) = \hom_{\operatorname{Ab}(\mathsf{C}^\circ/x)}(\Omega_{y/x}^1,A) $$ para$(x,A)$$T\mathsf{C}$$x\to y$$\mathsf{C}$.

Esta definición de Kahler diferenciales de que es "correcto" en muchos contextos - simplicial conmutativa anillos, suave, anillos, ...

Álgebras de Lie

Esta perspectiva sobre álgebras de Lie se originó (creo) en el SGA 3, exposé II. Deje $S$ ser un esquema y considerar la posibilidad de $\mathsf{Sch}_S$, la categoría de los esquemas de más de $S$. Se comienza por la definición de un functor de $S_\mathsf{qc}$, la categoría de cuasi-coherentes $\mathcal{O}_S$-módulos, a los esquemas de más de $S$ mediante el envío de $\mathcal{M}$$I_S(\mathcal{M})=\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_S\oplus\mathcal{M})$. (Astutos lectores notarán que esta es exactamente la construcción anterior). Ahora vamos a $X$ ser un presheaf en $\mathsf{Sch}_S$. Se definen, para cada una de las $\mathcal{M}$$S_\mathsf{qc}$, la tangente paquete de $X$ en relación al $\mathcal{M}$ a ser el functor $$ T_{X/S}(\mathcal{M}) = \underline{\hom}_S(I_S(\mathcal{M}),X):Y\mapsto \hom_S(I_S(\mathcal{M})\times Y,X) $$ (Ver la sección sobre exponenciales para una explicación de $\underline{\hom}$). Si $X$ es representado por un real plan (que voy a llamar a $X$), $T_{X/S}=T_{X/S}(\mathcal{O}_S)$ está representado por $\mathbb{V}(\Omega_{X/S}^1)=\operatorname{Spec}(\operatorname{Sym}(\Omega_{X/S}^1))$.

Si $X$ viene con un $S$valores de punto (por ejemplo, si $X=G$ es un grupo de valores de functor con la identidad de la sección $e:S\to X$), a continuación, la Mentira álgebra de $G$ está definida para cualquier cuasi coherente $\mathcal{O}_S$-módulo de $\mathcal{M}$: $$ \operatorname{Mentira}(G,\mathcal{M}) \subconjunto T_{G/S}(\mathcal{M}) $$

donde $\operatorname{Lie}(G,\mathcal{M})(Y)$ es el conjunto de $f\in T_{G/S}(\mathcal{M})(Y)=\hom_S(I_S(\mathcal{M})\times Y,G)$ de manera tal que el compuesto $Y\to I_S(0)\times Y = S\times Y = Y\xrightarrow{f} G$$Y\to S\xrightarrow{e} G$. (Tenga en cuenta que estoy escribiendo $X\times Y$$X\times_S Y$.) En otras palabras, $\operatorname{Lie}(G,\mathcal{M})$ es el producto de fibra de $S\times_G T_{G/S}(\mathcal{M})$. (En caso de que no esté claro, estoy siendo un poco demasiado laxa en la identificación de los esquemas con su functor de puntos).

Si dejamos $\operatorname{Lie}(G) = \operatorname{Lie}(G,\mathcal{O}_S)$, entonces no es un general "adjoint acción" $\operatorname{ad}:G\to \underline{\operatorname{Aut}}(\operatorname{Lie}(G))$ donde $\underline{\operatorname{Aut}}$ es definida en gran medida como $\underline{\hom}$.

Subobjeto de los clasificadores

Esto es mucho menos complicado, y puede ser encontrado en Mac Lane y Moerdijk el libro de Poleas en la Geometría y la Lógica. Para $\mathsf{C}$ una categoría, un subobjeto de $x$ es una clase de equivalencia de monomorphisms $u\to x$ donde $u\to x$ $v\to x$ son equivalentes si ambas factor a través de cada uno de los otros. Uno dice que $\mathsf{C}$ tiene un subobjeto clasificador si el functor que envía a$x$$\operatorname{Sub}_\mathsf{C}(x)$, la clase de subobjetos de $x$, está representado por algunos $\Omega$$\mathsf{C}$. (En particular, si $\mathsf{C}$ tiene un subobjeto de clasificador, cada objeto tiene un conjunto, no una clase adecuada, de subobjetos.)

Para $\mathsf{Set}$, el subobjeto clasificador es $\Omega=\{0,1\}$, y la representatividad de $\operatorname{Sub}_\mathsf{C}$ es esencialmente el hecho de que los subconjuntos pueden ser identificados con sus funciones características. Sin embargo, más interesante categorías (como gavillas en un sitio) también han subobjeto de los clasificadores.

Exponenciales

Más detalles aquí también se puede encontrar en Mac Lane y Moerdijk. Uno dice que una categoría $\mathsf{C}$ con productos ha exponenciales si para todas las $x$$\mathsf{C}$, el functor $y\mapsto x\times y$ ha dejado-adjoint. Uno denota este adjoint por $(-)^x$, es decir, $$ \hom(x\times y,z)=\hom(y,z^x) $$ Para $\mathsf{Set}$, $x^y$ es el conjunto de funciones de$y$$x$, y la contigüidad expresa el hecho de que las funciones de $f:y\times x\to z$ puede ser identificado con su transposición: $y\mapsto (x\mapsto f(x,y))$. Una vez más, la más interesante de las categorías (como gavillas en un sitio) también han exponenciales. De hecho, si $F$ $G$ son poleas en un sitio de $\mathcal{C}$, entonces la gavilla exponencial $F^G$ está definido por $$ (F^G)(c)=\hom(G\times c,F) $$ donde una vez más me identifico $c$$\hom(-,c)$. Tenga en cuenta que $F^G$ es a veces escrito $\underline{\hom}(F,G)$. Es la definición no es ad hoc. Uno tiene (utilizando el Yoneda lema y la contigüidad entre exponenciales y producto cartesiano) $$ (F^G)(c) = \hom(c,F^G)=\hom(G\times c,F) $$

Answer 3

Quizás uno de los ejemplos más obvios es que de los nervios de una categoría (y por lo tanto también la clasificación de espacio de una categoría.

El nervio $N(C)$ de una categoría $C$ es un conjunto simplicial que, en cierto sentido, codifica la estructura topológica de una categoría. El $0$-simplicies de $N(C)$ son los objetos de $C$ y el conjunto de $k$-simplicies $N_k(C)$ de la de los nervios son las torres de componibles flechas de longitud $k$.

La cara de mapas de $d_i\colon N_k(C)\rightarrow N_{k-1}(C)$ se dan por formalmente que componen la torre en la $i$th posición (o el olvido de las flechas en los extremos si $i=0$ o $k$). Así por ejemplo, si $$\alpha=(f_0,f_1,f_2)\in N_4(C)$$ then $d_0(\alpha)=(f_1,f_2)$ and $d_1(\alpha)=(f_1\circ f_0,f_2)$.

La degeneración de los mapas de $s_i\colon N_k(C)\rightarrow N_{k+1}(C)$ se dan por formalmente la inserción de una identidad flecha antes de $f_{i}$ ($f_{k-2}$ en el caso de $i=k-1$).

La clasificación de espacio $BC$ $C$ es, entonces, el geométrica realización del nervio $N(C)$. Esto se generaliza la costumbre de la construcción de la clasificación de espacio $BG$ de un grupo de $G$ mediante la formación de los habituales de la categoría $C_G$ con un objeto cuyas flechas son los elementos de $G$ con la composición dada por la multiplicación del grupo. Llegamos $$BG\cong BC_G.$$

El concepto de un nervio de una categoría también se generaliza el concepto de un nervio de una cobertura de un espacio topológico. Si $X$ es espacio topológico con la tapa abierta $\mathcal{A}=\{U_{\lambda}\}$ denotamos por a $N(\mathcal{A})$ el nervio de la cubierta $\mathcal{A}$. También nos formulario de la categoría (en este caso un poset) $C_{\mathcal{A}}$ cuyos objetos son los $U_{\lambda}$ y una flecha $U_{\lambda}\rightarrow U_{\lambda'}$ si $U_{\lambda}$ es un subconjunto de a $U_{\lambda'}$. Tenemos $$N(\mathcal{A})=N(C_{\mathcal{A}}).$$