No comprender plenamente el coseno de la suma de ángulos de identidad en una integral definida en el problema

Question

Para hacer la tarea en mi clase de cálculo, estoy tratando de mostrar a través de la u de sustitución que la siguiente integral definida es igual a cero:

$$ \int_{0}^{2} (1-t) \cos(\pi t) \ dt $$

Aquí están las u sustitución de los parámetros que he utilizado:

• u = 1 - t
• du = -dt
• t = 1 - u
• Cuando u es 0, t = 1
• Cuando u es 2, t = -1

Aquí es donde me quedé atrapado:

$$ -\int_{1}^{-1} u \ cos(\pi(1-u)) \ du $$

He comprobado la solución en la parte de atrás del libro, y que tenían casi la misma intermedio de la ecuación (ellos carece de la principal signo negativo). Sin embargo, el siguiente paso que me confunde. No entiendo cómo han llegado desde su intermedio ecuación para la siguiente integral:

$$ \int_{1}^{-1} u [\cos(\pi)\cos(u) - \sin(\pi)\sin(u)] \ du $$

Yo esperaba este:

$$ \int_{1}^{-1} u [\cos(\pi)\cos(\pi u) + \sin(\pi)\sin(\pi u)] \ du $$

Lo que paso(s) que me estoy perdiendo en la aplicación del coseno de la suma de ángulos fórmula que permitió a los autores de libros de texto para llegar a su versión de la integral?

Libro De Texto: OpenStax Cálculo Del Volumen 1

Sección: 5.5

Ejercicio: 311, Página 594

Answer 1

Parece que la respuesta es que el libro es incorrecta. Gracias a todos los que respondieron.

Answer 2

Un poco más de la ruta directa a coreyman la simetría de argumento:

Hacer lugar a la sustitución de $u=2-t$. Después de la limpieza de los signos, el original de la integral de la $I = \int_0^2 (1-t)\cos(\pi t)\,dt$ hace $-\int_0^2 (1-u)\cos(2\pi - \pi u)\,du$. Pero $\cos$ es $2\pi$-periódicos e incluso, por lo $\cos(2\pi - \pi u) = \cos(-\pi u) = \cos(\pi u)$. Por lo tanto $I = -\int_0^2 (1-u)\cos(\pi u)\,du = -I$ y por lo tanto debemos tener $I=0$.

Answer 3

He aquí una forma por la integración por partes para la diversión. Deje $$I=\int_0^2\left(1-t\right)\cos(\pi t)dt=\int_0^2\cos(\pi t)dt-\int_0^2t\cos(\pi t)dt=\left(\frac{1}{\pi}\sin(\pi t)\bigg|^2_0\right)-\int_0^2t\cos(\pi t)dt$$

La última integral se puede hacer por integración por partes dejando $$s=t\implies ds=dt$$ $$dr=\cos(\pi t)\space dt\implies r=\frac{1}{\pi}\sin(\pi t)$$

Por lo tanto $$-\int_0^2t\cos(\pi t)dt=-\frac{t}{\pi}\sin(\pi t)\bigg|^2_0+\frac{1}{\pi}\int_0^2\sin(\pi t)dt=\left(-\frac{2}{\pi}\sin(2\pi)+0\right)-\frac{1}{\pi^2}\cos(\pi t)\bigg|^2_0$$ $$=(0)-\frac{1}{\pi^2}\cos(2\pi)+\frac{1}{\pi^2}\cos(0)=0$$

En conclusión, $$I=\left(\frac{1}{\pi}\sin(\pi t)\bigg|^2_0\right)-0=\frac{1}{\pi}\sin(2\pi)+\frac{1}{\pi}\sin(0)=0$$

He aquí otra forma a través de la simetría:

Deje $$s=t-1$$

de modo que $ds=dt$. Uno bien podría valer la sustitución de $s=1-t$ que volvería a llevar a un simétrica de la integral de una función impar. Así, tenemos: $$I=\int_{t=0}^{t=2}(1-t)\cos(\pi t)dt=-\int_{-1}^1s\cos(\pi(s+1))ds=-\int_{-1}^1s\cos(\pi s+\pi)ds$$ $$=-\int_{-1}^1\left(s\cos(\pi s)\cos(\pi)-s\sin(\pi s) \sin(\pi)\right)ds=\int_{-1}^1s\cos(\pi s)ds$$

La función de $f(s):=s\cos(\pi s)$ es extraño dado que $f(-s)=-s\cos(-\pi s)=-f(s)$ por lo tanto, $$I=\int_{-1}^1s\cos(\pi s)ds=0$$