¿Es conmutativo el producto tensorial (de espacios vectoriales)?

Question

Acabo de aprender un poco sobre el producto tensorial y no he podido encontrar una respuesta real a esto. He leído algo sobre, que en algunos casos puede ser o no. Consideremos el siguiente ejemplo:

En el espacio vectorial $\mathbb{R}^n\otimes_\mathbb{R}\mathbb{R}^n$ con base estándar $\mathbb{B}=(e_1,...,e_n)$ de $\mathbb{R}^n$ ¿podemos decir que

$e_1\otimes e_2=e_2\otimes e_1$ ?

En caso afirmativo, ¿podemos decir que $\otimes$ es conmutativo en un espacio vectorial $V\otimes V$ generado por el producto tensorial de un espacio vectorial $V$ con ella misma?

Si no es así, ¿cuándo se puede considerar?

Answer 1

Desde luego que no. Podemos dualizar un elemento de $\Bbb R^n \otimes \Bbb R^n$ y luego verlo como un mapa $(\Bbb R^n)^* \times (\Bbb R^n)^* \to \Bbb R$ . Entonces, si $(\epsilon^a)$ denota la base de $(\Bbb R^n)^*$ doble a $(e_a)$ concretamente tenemos $$(e_1 \otimes e_2)(\epsilon^1, \epsilon^2) = e_1(\epsilon^1) e_2(\epsilon^2) = (1) (1) = 1$$ pero $$(e_2 \otimes e_1)(\epsilon^1, \epsilon^2) = e_2(\epsilon^1) e_1(\epsilon^2) = (0) (0) = 0 .$$ Por lo tanto $$e_1 \otimes e_2 \neq e_2 \otimes e_1 .$$

Answer 2

No, no es conmutativo. Implicaría que todos los mapas bilineales son simétricos.

Para cualquier espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$ sólo tenemos un isomorfismo $$\begin{align}V\otimes _KV&\longrightarrow V\otimes_KV, \\v_1\otimes v_2&\longmapsto v_2\otimes v_1. \end{align}$$

Además, el cociente de $V\otimes_K V$ por el subespacio generado por todos los tensores $v_1\otimes v_2 - v_2\otimes v_1$ se denomina producto simétrico de $V$ por sí mismo.