1 Negro y 1 Bola Blanca en la Urna Bolas Negras Añadido Después de Cada Negro Sorteo

Question

Como en el título estoy buscando la respuesta al siguiente problema:

Tenemos una urna con 1 negro y 1 blanco de la bola. Si tienes que elegir una bola negra, a continuación, poner en la otra bola negra cada vez hasta que toma la bola blanca. Una vez que la bola blanca se recogió el juego se detiene. ¿Cuál es el número esperado de bolas para ser dibujado en orden para que el juego final?

Aquí es lo que yo hice:

I denota la probabilidad de parar en la $k$-th dibujar con $P(X=k)$. A continuación,

$$P(X=1) = \frac 12, $$ $$P(X=2) = \frac 12*\frac13, $$ $$P(X=3) = \frac12*\frac23*\frac14,$$ $$P(X=4) = \frac12*\frac23*\frac34*\frac15$$

y continuar de esta forma me parece

$$P(X=k) = \frac1{k(k+1)}$$

Ahora, para calcular el valor esperado, me multiplicar con $k$ y la suma de todos los $k$.

$$E[X] = \sum_{k=1}^\infty \frac k{k*(k+1)} = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{(k+1)}$$

que como sabemos a partir de p de la prueba, diverge.

¿Qué estoy haciendo mal? Alguna sugerencia?

Gracias.

Answer 1

La respuesta a la OP de la pregunta acerca de si el juego continuará de manera indefinida es no. La probabilidad de que el juego finalmente se detiene es $\ P\left(\bigcup_\limits{k=1}^\infty\left\{X=k\right\}\right)=\sum_\limits{k=1}^\infty\frac{1}{k\left(k+1\right)}=1\ $. Por lo tanto, con una probabilidad de $1$, el juego se detendrá en el futuro.