Contraejemplo Aubin-Lions p=1

Question

Quería mostrar, que $p>1$ en el lema de Aubin-Lions es necesario. Esperaba que ya hubiera un ejemplo para $X=Y=Z=\mathbb{R}$ para que la incrustación \begin{align} \{u \in L^\infty(0,T);\mathbb{R}) \mid u^\prime \in L^1(0,T;\mathbb{R})\} \to C([0,T];\mathbb{R}) \end{align} no es compacto.

Entonces, tengo que encontrar una secuencia de funciones acotadas en $\{u \in L^\infty(0,T);\mathbb{R}) \mid u^\prime \in L^1(0,T;\mathbb{R})\}$ que no tienen una subsecuencia convergente en $C([0,T];\mathbb{R})$ .

Mi problema es que no me he hecho una idea de qué tipo de funciones acotadas estoy buscando realmente. Al principio, pensé que tengo que tomar una secuencia de funciones oscilantes como $\sin(kx)$ pero su derivada no está acotada. ¿Alguien tiene una idea o una pista?

Answer 1

$\DeclareMathOperator{AC}{AC}$ Obsérvese que el requisito el espacio que está considerando es precisamente el espacio de funciones absolutamente continuas . Así, la cuestión se reduce a

¿Podemos encontrar una secuencia acotada de continuos absolutos que no converja uniformemente a una función continua?

En concreto, obsérvese que bastaría con tomar una secuencia $u_n$ de funciones absolutamente continuas que convergen puntualmente a una función discontinua. Hay muchos ejemplos, por ejemplo $$u_n(x) = \frac{x^n}{T^{n+1}}$$

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Parece que vale la pena señalar que en el escenario que usted está considerando, el lema de Aubin-Lions es el mismo que el humilde Teorema de Rellich-Kondrakov . En particular, el espacio $$A = \{u \in L^\infty((0,T); \mathbb{R}) | u' \in L^1(0,T;\mathbb{R})\}$$ es equivalente (como espacio de Banach) a $W^{1,1}((0,T))$ ya que, por un lado, $L^1((0,T)) \supseteq L^\infty((0,T))$ por la desigualdad de Holder, mientras que por otro lado $L^\infty((0,T)) \supseteq W^{1,1}((0,T))$ por la desigualdad de Poincare.