¿Es la intersección de un conjunto cerrado y un conjunto compacto siempre compacta?

Question

Estoy estudiando los Principios de Análisis Matemático de Rudin en preparación para el examen de maestría, y estoy buscando aclaraciones sobre un corolario.

El Teorema 2.34 establece que los conjuntos compactos en espacios métricos son cerrados. El Teorema 2.35 establece que los subconjuntos cerrados de espacios compactos son compactos. Como corolario, Rudin afirma que si $L$ es cerrado y $K$ es compacto, entonces su intersección $L \cap K$ es compacta, citando los teoremas 2.34 y 2.24(b) (las intersecciones de conjuntos cerrados son cerradas) para argumentar que $L \cap K$ es cerrado, y luego usando el teorema 2.35 para mostrar que $L \cap K$ es compacto como un subconjunto cerrado de un conjunto compacto.

¿Es correcto creer que este corolario se cumple en espacios métricos, y no en espacios topológicos en general?

Answer 1

En cualquier espacio de Hausdorff, los conjuntos compactos son automáticamente cerrados, por lo que el argumento anterior funciona tal como está escrito. Es cierto que en espacios no Hausdorff, un conjunto compacto no necesita ser cerrado.

Por otro lado, es cierto en general que un subconjunto cerrado de un espacio topológico compacto es compacto (ya sea que el espacio compacto sea Hausdorff o no); esto se puede demostrar fácilmente directamente en términos de la caracterización de los espacios topológicos compactos mediante cubiertas abiertas.

Entonces, si $K$ es compacto en un espacio topológico arbitrario (lo que significa que es un espacio topológico compacto cuando se le da su topología inducida) y $L$ es cerrado, entonces $K \cap L$ es un subconjunto cerrado de $K$ en su topología inducida, y por lo tanto es compacto con su topología inducida, es decir, nuevamente es un subconjunto compacto del espacio topológico ambiente (aunque no necesariamente es cerrado).

Resumen: La correlación se mantiene para un espacio topológico arbitrario (no necesariamente Hausdorff), pero es necesario reescribir ligeramente la prueba.

Answer 2

Como es usual, las redes proporcionan una demostración elegante. Sea $L$ cerrado y $K$ compacto. Supongamos que $(x_i)_i$ es una red en $L\cap K$. Como $K$ es compacto, existe una subred $(x_{i_k})_k$ que converge a algún $x\in K$. Como $L$ es cerrado, debemos tener $x\in L$. Por lo tanto, $x\in L\cap K$ y en consecuencia $L\cap K$ es compacto.