Estoy estudiando una prueba de que si un prime $p$ ha $p\mid |G|$ e $k$ es un campo de caracteres $p$, entonces el grupo de álgebra $kG$ no es semisimple.
Mi problema es que no es una afirmación en la primera línea que no entiendo - dada esta afirmación, yo estoy bien con el resto de la prueba.
La prueba va como esto:
Si $kG$ fueron semisimple, el trivial módulo de $k$ parece exactamente una vez como un sumando en una descomposición de la $kG$ a una $kG$ módulos. Esto debe ser algo especial sobre el grupo de álgebra, porque por ejemplo, $k\oplus k$ no está satisfecho con esto y es semisimple, pero no sé de dónde proviene.
Por el Artin-teorema de Wedderburn, cualquier composición de la serie de $kG$ tiene exactamente un factor isomorfo a $k$.
El aumento ideal $\Sigma$ (el núcleo de la ampliación del mapa de envío de cada elemento del grupo a 1) ha $kG/\Sigma\cong k$.
$\sigma=\sum_{g\in G}g$ se encuentra en el aumento ideal desde $k$ es de carácter $p$. Así, $k\sigma$ es un submódulo de $kG$ contenida en el aumento ideal.
Refinación $kG\supset \Sigma \supset k\sigma\supset 0$ a una composición de la serie se dan al menos dos factores isomorfo al trivial módulo, una contradicción.
Entiendo cómo, suponiendo (1), la prueba de que funciona, y estoy seguro de que me estoy perdiendo algo totalmente obvio. ¿Por qué es (1) cierto?
