Cómo demostrar que $\sum\limits_{n=1}\frac{\sin^2n}n$ es divergente

Question

Cómo demostrar que $\sum\limits_{n=1}\frac{\sin^2n}n$ no converge sin utilizar la expansión en serie y con las siguientes pruebas sólo o una combinación de ellas (prueba de comparación o comparación de límites )

Answer 1

Hay una secuencia de enteros positivos $\{a_n\}=\{1,2,4,5,8,\ldots\}$ donde para cada $a_n$ en esta secuencia, $\sin^2a_n$ es mayor que $\frac12$ y esta es la máxima secuencia de este tipo.

¿Qué frecuencia tienen estos $a_n$ ? En cada intervalo $[(k-1)\pi,k\pi]$ hay un subintervalo en el medio de longitud $\pi/2$ donde $\sin^2(x)>\frac12$ . Desde $\pi/2>1$ siempre hay un entero en este subintervalo. Así que en los intervalos $[0,\pi],[\pi,2\pi],[2\pi,3\pi],\ldots$ siempre se puede encontrar (al menos) uno $a_n$ . Sea $b_n$ sea algún número entero en la intersección de $[(n-1)\pi,n\pi]$ con $\{a_n\}$ . Nota $b_n<n\pi$ .

Considere $$ \begin{align} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^2(n)}{n}& >\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^2(a_n)}{a_n}&&\text{just summing over fewer positive terms}\\ &>\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}&&\text{property of $a_n$}\\ &\geq\frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}&&\text{just summing over fewer positive terms}\\ &>\frac1{2\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}&&\text{property of $b_n$} \end{align}$$

Answer 2

Lo siento, esto sería sólo un comentario si no fuera por mi baja reputación, ya que es en el mejor de los casos un esbozo de prueba, pero creo que podemos haber (en mi clase) mirado todos los números naturales que son mejores y mejores aproximaciones de $2\pi k+\frac{\pi}{2}$ lo que hace que la cima sea estrictamente mayor que la primera en esa secuencia, y encontró que esa subsecuencia era divergente ya que era una subsecuencia divergente no tan terrible de analizar de $\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{k}{n}$ .